Laikus körökben gyakran hall a matematikus ilyen kérdéseket: mivel is foglalkoztok? Egész nap számoltok? Lehet-e újat alkotni a matematikában? Van-e alkalmazása a tevékenységeteknek? A nagyközönség általában tájékozatlanabb a jelenkori matematikában, mint bármely más tudományágban. A következőkben megpróbálunk érzékeltetni egyet-mást a matematika szelleméből. Nem matematikai játékokról lesz szó.
MIT TARTANAK A MATEMATIKÁRÓL?
A leginkább elterjedt vélemény szerint a jelenkori matematika a számológépek tudománya. Nem részletezzük, honnan ered ez a hiedelem, csak annyit jegyzünk meg: ennyi erővel azt is állíthatnánk, hogy az ókori matematika a szorzótábla tudománya, a közép- és újkori pedig az arab számjegyekkel végzett műveleteké. Természetesen óriási szerepe volt a szorzótáblának az ókorban, az arab számjegyeknek a közép- és újkorban, s óriási a jelentősége a számológépeknek a jelenkorban. A számítási technika azonban mindig csak eszköze volt a matematikának. Az olvasóra bízzuk, hogy ezen elgondolkozzék.
Mások szerint a matematika kidolgozott szabályok tömkelege, lezárt tudomány. Ezen nem is ütközhetünk meg, hiszen az általános műveltséget nyújtó líceumban tanítják, például a fizikában a magfúzió problémáit, de elfelejtik, hogya matematika nyílt problémái közül akár egyet is megemlítsenek.
MI TARTOZIK A MATEMATIKÁHOZ?
Egy félig tréfás, de nagyon igaz megállapítás szerint a matematikához tartozik mindaz, amivel a matematikusok foglalkoznak.
A matematika tárgyát körülményes volna pontosan meghatározni. Általában a matematikát nem a tárgya, hanem az elvonatkoztatás mértéke és a logikus dedukció jellemzi. Így létezik a számlálásnak megfelelő matematikai modell: az aritmetika, a térbeli alakzatoknak megfelelő modell: az euklidészi geometria, a logikus ítélethozásnak megfelelő matematikai modell: a matematikai logika, a pontosan előre nem látható események értékelésének a matematikai modellje: a valószínűségszámítás, az atomfizika matematikai modellje: lineáris operátorok Hilbert terekben stb. Az emberiség nagy problémája a megismerés. A tudományos megismerés megfigyeléssel, kísérletezéssel kezdődik, a jelenség elméleti feldolgozásával folytatódik, s egy vagy több jelenségre is érvényes matematikai modell kidolgozásával fejeződik be. Természetesen újabb kísérleti eredmények változtatást idézhetnek elő az előbb leírt folyamat minden fokán. Mégis a matematikai elmélet igaz marad, s belép a matematika kincstárába, ha nem fedi is teljesen az őt kiváltó jelenséget.
Egy jellemző példa a tömegvonzás históriája. A szabadesés törvénye és Kepler törvényei kísérleti eredmények, Newton tömegvonzáselmélete elméleti fizikai eredmény, a newtoni potenciálelmélet pedig, amelyet az elektrosztatika is használ, a matematikához tartozik. Annak ellenére, hogy Newton tömegvonzáselméletét helyesbítette a kísérleteknek jobban megfelelő általános relativitáselmélet, a newtoni potenciálelmélet mégis érvényes matematikai elmélet maradt.
MILYEN MÓDSZEREKKEL DOLGOZIK A MATEMATIKUS?
Az alábbiakban egyetlen példával igyekszünk érzékeltetni három matematikai gondolkodástípust. Matematikusi gyakorlatom szerint szinte minden matematikai gondolatmenet e három típus egyikébe tartozik.
Tegyük fel, hogy egy szögletes testet akarunk leírni. A test szimmetriatulajdonságainak a tanulmányozása algebrai probléma. Az algebra diszkrét mennyiségek – jelen esetben a test szimmetriái – közti kapcsolatokkal foglalkozik. Ha viszont a testet kivetítjük különböző síkokra, s az árnyékok formájából következtetünk a test formájára, akkor az úgynevezett projektív módszert alkalmaztuk. A projektív módszer az analízisre jellemző. Végül, ha a testből darabkákat tanulmányozunk, például sorra véve a csúcsokat, megszámoljuk az onnan kiinduló élek számát, s innen következtetünk a test globális tulajdonságaira (az említett esetben az élek és a lapok számára), akkor induktív módszert alkalmaztunk. Az induktív módszer a geometria jellemzője.
Algebrai jellegű a kombinatorika s a matematikai logika, projektív jellegű a differenciálszámítás, az integrálszámítás s a valószínűségszámítás, induktív jellegű pedig a görbék s a felületek globális geometriája. A valószínűségszámítás, például, kivetíti az eseményeket a számegyenesre, hozzárendelve minden eseményhez a valószínűségét, s ezek ismeretében következtet az események közti kapcsolatokra. Az algebra általában diszkrét mennyiségekkel foglalkozik, az analízis valós értékű függvényekkel, a geometria pedig valós változójú függvényekkel. A legtöbb matematikai gondolatmenetben keveredik a három alapvető típus.
MI A MATEMATIKA ÉRTELME?
Mint említettük, a matematika az emberi megismerés része. Fejlődése összekapcsolódik a megismerés fejlődésével – így a csillagászat, a fizika, a technika egy-egy különleges jelentőségű vívmányát megelőzte vagy nyomon követte a matematika egy-egy hasonló jelentőségű előrelépése. Ezért a matematika értelme ugyanaz, mint az emberi megismerésé általában: kielégíti az ember tudásszomját, szellemi szükségleteit. A matematika több más tudomány segédtudománya, megismerése elősegíti egy általános tudományos horizont kialakulását.
Egy új matematikai ág igen sokszor a matematika belső szükségleteinek nyomására jelenik meg. Például a múlt század végén s e század elején kényszerítővé vált a matematika biztosabb alapokra helyezése. Ez váltotta ki a differenciál- és integrálszámítás megalapozását, a halmazelmélet megjelenését, az axiomatikus tárgyalásmód kidolgozását, olyan emberek munkásságát, mint Cauchy, Weierstrass, Cantor, Hilbert. Munkáik a megismerésnek éppen olyan nagy eredményei, mint például a mechanika szükségletei nyomására megjelent differenciál- és integrálszámítás.
HALAD-E A MATEMATIKA?
A matematika egy ága bizonyos matematikai objektumok bevezetésével vagy hangsúlyozásával jelenik meg, s e matematikai objektumok leírásával, osztályozásával fejeződik be. A jó osztályozás megköveteli, hogy „kiszámítható”, egyszerűbb objektumok segítségével végezzük. Például az egész számok additív csoportjának alcsoportjai kölcsönösen-egyértelműen megfeleltethetők a természetes számoknak: mindenik természetes számnak megfelel a k-val osztható egész számok alcsoportja.
Igen kevés a matematikában a befejezett, osztályozott rész. A legfontosabb területeken még sok a tennivaló. Közben újabb problémák jelennek meg, a meglevő osztályozások elégtelennek bizonyulnak. A matematika története azt mutatja, hogy a matematika fejlődésében pangás sohasem volt, tennivaló mindig akadt, művelésére mindig szükség volt. Még a „sötét középkor” is olyan eredményekkel büszkélkedhet, mint az arab számjegyek használatának általánosítása, az algebrai egyenletek tanulmányozásának elindítása, a differenciál- és integrálszámítás előkészítése. Newton és Leibniz munkássága nem épült légüres térre, gyökerei messze visszavezethetők.
Fontos megemlítenünk, hogy a matematika szelleme mindig ugyanaz volt. Aki érzi, hogy a görög matematika, Newton és Leibniz korának matematikája, Hilbert korának matematikája s a jelenkori matematika egyetlen egész részei: az emberi tevékenység lenyűgöző alkotásának mind újabb köntöstöltő fejezetei, az megértheti minden korok tudósainak ámulatát és lelkesedését a matematika iránt.
A MATEMATIKA MEGKÖZELÍTÉSE
Az olvasónak, aki az olvasásban eddig eljutott, biztos van kérdezni- vagy vitatnivalója, így valószínűleg egyetért azzal, hogy a matematika elsajátításában, akár megközelítésében, igen nagy szerepe van az élő matematikusnak. Akárcsak a sportolók képzésében, a matematika tanulásában is igen körülményes az autodidakta módszer. Tehetséges, gyakorló matematikusoknak is káros a személyes kapcsolatok hiánya. Elég Bolyai János elszigeteltségére hivatkoznunk. Feynman vagy Öveges könyveit fizikus is szívesen olvassa, Bernstein előadásait zenész is szívesen hallgatja. Hasonló könyvek vagy előadások hasznosak lennének a matematika köréből is. A matematikát lehet játszva megközelíteni, tanulni, gyakorolni, de mindez, még ha nem is vesszük észre, erőkifejtéssel jár. Már Euklidész megmondotta, hogy a matematikához nem vezet királyi út. Végül hadd idézzük Illyés Gyulának a matematikára is vonatkoztatható alábbi sorait: „Elvárom az olvasótól, hogy ő is fejtsen ki annyi erőt a megértés érdekében, mint a költő a megértetés érdekében. Csodálkozom azon, aki a mélységhez rögtön liftet is igényel.”
Megjelent A Hét III. évfolyama 23. számában, 1972. június 9-én.
