Hetvenéves a nagy fizikus
„A fizika törvényei matematikailag szépek lehetnek.“ (P. A. M. Dirac)
P. A. M. Dirac, a híres angol fizikus számos esetben kifejezte azt a nézetét, miszerint a fizika alaptörvényei matematikai szempontból esztétikusak kell hogy legyenek. Ezt fejezi ki a fenti mottó is, amit a moszkvai Lomonoszov egyetem neves fizikusa, Ivanyenko professzor dolgozószobájának falára írt. Ugyanitt található Niels Bohr mondása is a kvantumfizika komplementaritás-elvének lényegéről: Contraria non contradictoria sed complementa sunt. Mindkettőt maguk a szerzők írták fel krétával Ivanyenko professzor szobája falára, egyik moszkvai látogatásuk alkalmával. Megemlítjük még azt is, hogy a szoba másik falán Hideki Yukawa japán Nobel-díjas fizikus, a magerők mezon-elmélete megalkotójának felirata látható. Yukawa mondása a Diracéhoz hasonlóan a fizikai törvények természetével foglalkozik. Szerinte a természet törvényeinek egyszerűeknek kell lenniük, hiszen a természet maga is lényegében egyszerű. The nature is simple in essence – hirdeti Yukawa felirata.
Mindhárom felirat hallatlanul gazdag eszmei mondanivalót hordoz, és egyáltalán nem túlzás azt állítani, hogy voltaképpen három különböző felfogást, sajátos filozófiát tartalmaz a fizikáról, a fizika alaptörvényeiről és a tudomány törvényeiről általában. Mivel Bohr feliratának jelentőségéről már máskor is volt alkalmunk beszélni (lásd pl. A Hét, 36. sz. 1971.), térjünk most vissza Dirac mottójához.
Mit érthetünk tulajdonképpen a fizikai törvények matematikai szépségén? Mikor szép például egy alapvető fizikai törvényt kifejező parciális differenciálegyenlet? Dirac szerint egy ilyen egyenletnek például akkor lehet matematikai eleganciája, ha az egyenlet lineáris, tehát egzakt megoldása aránylag könnyen megtalálható. Továbbá, ha az illető matematikai kifejezés tömör, rövid formában felírható és ugyanakkor ez a tömörség gazdag fizikai jelentést is tartalmaz. Hasonlóképpen, egy fizikai törvény matematikailag akkor is szép, ha a benne szereplő fizikai mennyiségekre alkalmazott bizonyos transzformációkkal szemben az egyenlet invariáns vagy kovariáns, azaz formáját nem változtatja.
A fent említett feltételeknek megfelel például a híres Dirac-egyenlet:
Ez a négydimenziós Minkowski-tér koordinátái szerinti elsőfokú parciális differenciálegyenlet, melyben a négykomponensű pszi spinor-függvény lineárisan jelenik meg. Az egyenlet tömörsége majdnem maximálisnak mondható, lévén egy mátrixegyenlet, amit ha kifejtve írnánk le, elvégezve az összes kijelölt műveleteket, négy meglehetősen bonyolult parciális differenciálegyenletet kapnánk.
A Dirac-egyenlet fizikai tartalma rendkívül gazdag. Elsősorban ez az egyenlet a huszadik századi fizika két alapvető elméletének, a speciális relativitáselméletnek és a kvantumelméletnek a szintézise, tehát alapegyenlete az egész relativisztikus kvantumfizikának. Másodsorban, ez az egyenlet egységes és koherens módon írja le az elektron összes alaptulajdonságait (kvantum- és relativisztikus tulajdonságait), ami addig egyik elméletnek (vagy egyenletnek) sem sikerült. Ezenkívül az egyenlet megoldásai – amelyeket a linearitás következtében pontosan meg lehet határozni – az elektronon kívül az elektron antirészecskéjét, a pozitront is leírják, tehát a Dirac-egyenlet ebből a szempontból szimmetrikus. Ezt az elemi részek fizikájában tapasztalt szimmetriát nevezzük töltésszimmetriának (vagy részecske-antirészecske szimmetriának). Végül pedig a Dirac-egyenlet „szép” vonásai közé sorolható az egyenlet invarianciája a Lorentz transzformációval szemben, amit relativisztikus invarianciának is nevezünk. Íme az érvek, amelyek a modern fizikában oly nagy jelentőségű Dirac-egyenlet és az általa kifejezett alapvető fizikai törvények matematikai szépségét bizonyítják.
Valószínűleg ehhez hasonló indokok, illetőleg a matematikai elegancia valamelyes hiánya késztették Diracot arra, hogy az elemi részek Heisenberg-féle nem lineáris univerzális elméletével szemben ellenállás fejezzen ki, ugyanis ennek alapját a következő nem lineáris spinor-egyenlet alkotja:
Ebben az egyenletben elsősorban a pszitől függő nem lineáris tag jelenléte az oka annak, hogy az egyenlet megoldását egyelőre nem tudjuk matematikai szempontból pontosan meghatározni, és csak egy megközelítő megoldást tudunk felírni. Viszont éppen a megközelítés nem egy „kellemes”, tetszetős dolog a matematikai esztétika szempontjából.
Egy másik fontos tulajdonság, amely matematikailag „széppé” tesz egy fizikai alaptörvényt: a szimmetria. Előbb már röviden szó volt a Dirac-egyenlet töltésszimmetriájáról. Itt a szimmetrián egy elmélet egyenleteiben szereplő bizonyos fizikai mennyiségek szimmetrikus megjelen ését értjük, a fizikai törvényben szereplő mennyiségek arányainak valamelyes harmóniáját. Azt hiszem, nem kell különösebben megmagyaráznunk, mi köze van a szépségnek a szimmetriához, ez általában mindenki előtt ismeretes.
A szimmetria szót már az argoszi Polükleitosz, a szobrai tökéletes harmóniájáról híres ókori szobrász, az arányokról szóló könyv szerzője használja. Albrecht Dürer a Vier Bücher von menschlicher Proportion (1528) című művében a szimmetria-elv alapján állítja fel az emberi test arányainak kánonját. A szimmetria és a szimmetria-elvek fontos szerepet játszottak és játszanak ma is mind a művészetekben, mind számos más területen, például a szerves vagy szervetlen természet tanulmányozásában, a matematikában, a kristálytanban, a költészetben, a zene vagy a filozófia területén. De maradjunk csak a fizika területén, hiszen itt is éppen elég mondanivalónk van a szimmetriával kapcsolatban. Az utóbbi időben a fizikusok és a filozófusok sokat foglalkoznak – főleg az elemirész-fizikában előforduló – szimmetriatörvények és az ezeknek megfelelő megmaradási elvek jelentőségével, különös tekintettel a fizikában előforduló alapvető kölcsönhatások szimmetriasértéseire.
Visszatérve a fizika egyenleteinek szimmetriájához, vizsgáljuk meg ebből a szempontból az elektromágneses jelenségek alapegyenleteit, a Maxwell-egyenleteket. A Maxwell-egyenletek elektromos és mágneses mennyiségekkel szembeni szimmetriatulajdonságaiból indult ki Dirac, amikor felállította a modern fizika egyik legjelentősebb hipotézisét. Ezek az egyenletek bizonyos aszimmetriát mutatnak az elektromos és mágneses tulajdonságokkal szemben. A hiányzó szimmetriát visszaállítandó, a kvantumfizika általános törvényeire támaszkodva, Dirac 1931-ben feltételezte, hogy az elektromos töltést hordozó részecskékhez hasonlóan (amilyenek az elektronok, protonok, mezonok, hiperonok stb.), a természetben létezniük kell elemi mágneses töltést hordozó részecskéknek is. Olyan részecskékről lévén szó, amelyeknek mágneses töltése északi vagy déli, tehát egypólusú mágneses részecskék, ezeket mágneses monopólusoknak nevezték el. A tudományos világ eleinte elég tartózkodóan fogadta a mágneses monopólus hipotézisét. Az utóbbi tíz-tizenöt évben azonban mind elméleti, mind pedig kísérleti szempontból sokan foglalkoztak ezzel a kérdéssel, s több száz tudományos cikket és értekezést szenteltek a mágneses töltés problematikájának. Napjainkban a világ több nagy kutatólaboratóriuma próbálkozik a Dirac-monopólus létezésének kimutatásával, rendszeresen keresik azt a Földön és a Holdon, az óceánok mélyén és a magaslégkörben, felhasználva erre a célra a földön létező legnagyobb részecskegyorsítókat és a kozmikus sugarakat is. Mielőtt bemutatnánk ezeket a kísérleti próbálkozásokat, térjünk még egyszer vissza a Maxwell-egyenletek szimmetriatulajdonságaira.
Az elektromosság és mágnesség aszimmetriája már régóta, talán több mint egy évszázada foglalkoztatja a tudósokat. Azóta, amióta J. C. Maxwell a róla elnevezett híres egyenleteket felállítva, egy egységes és koherens elméletbe foglalta az elektromos és mágneses jelenségeket és ezzel megalkotta az elektromágneses tér klasszikus elméletét. A Maxwell-féle egyenletrendszer két fontosabb csoportját a következőképpen írhatjuk fel:
Látható, hogy mind az elektromos, mind pedig a mágneses jelenségeket az elektromos töltés okozza. Továbbá következik az is, hogy az elektromos tér E (D) forrással rendelkező tér (div D= 4πρe) a mágneses tér B (H) azonban nem, mivel divergenciája nulla (div B = 0). A mágneses töltés hiánya valóban érthetetlen és furcsa dolog. Ha léteznének mágneses töltések is, a Maxwell-egyenletek tökéletesen szimmetrikusak, matematikailag „szépek” lennének. A ma fennálló elmélet tehát a mágneses jelenségeket úgy tekinti, mint az elektromos jelenségek következményeit, szekundér produktumait, mivel a mágneses teret a mozgásban levő elektromos töltés hozza létre. Viszont, ha a Maxwell-egyenletek szimmetriáját vissza akarjuk állítani, fel kell tételeznünk a mágneses tér forrását képező mágneses töltések létezését, amelyek mozgása elektromos teret idéz elő.
A Maxwell-egyenletekben valóban van hely a mágneses töltés számára. A 3-as egyenletek jobb oldalán az elektromos töltéssűrűséget (ρe), illetve az elektromos áramsűrűségét (je) tartalmazó tag szerepel, míg a 4-es egyenletek jobb oldalán zérus van. Ha ezeket az egyenleteket szimmetrikusan akarjuk felírni az elektromos és mágneses mennyiségekkel szemben, akkor a jobb oldaluk a következőképpen változik meg:
ahol ρm a mágneses töltések térbeli sűrűségét jelentené, a jm pedig a mágneses áramsűrűséget. Tehát a 4-es egyenlet jobb oldalán található két zérust felfoghatjuk úgy is, mint a mágneses mennyiségek számára (ρm és jm) „fenntartott” helyeket.
A 3-as és az 5-ös egyenletrendszer tehát a lap egyenleteit képezheti mind elektromos, mind pedig a mágneses töltésnek. Vagyis a mágneses monopólusok leírására, ha valóban léteznek – nem kell új egyenleteket felállítanunk. A ρm ésjm mennyiségekkel szimmetrikussá tett Maxwell-egyenletek természetszerűen használhatók erre a célra.
Az elektromos és mágneses jelenségek szimmetriájával kapcsolatban még egy dolgot említsünk meg. A mágneses töltés hiánya okozta aszimmetria még élesebben látszik az elektromos és mágneses tér erővonalai esetében. Az elektromos tér erővonalai lehetnek zárt vonalak, ha azt változó mágneses tér okozza, vagy egyenes (divergens vagy konvergens) vonalak, ha a tér forrása egy pontszerű elektromos töltés. Ezzel ellentétben a mágneses tér erővonalai mindig zártak, akkor is, ha azt mozgásban levő elektromos töltés okozza és akkor is, ha változó elektromos tér az előidézője. Nyitott mágneses erővonalakat ez idáig nem ismerünk. Ez azért van, mert eddig még nem sikerült kimutatni a természetben egyetlen mágneses töltés létezését sem. (Akárhányszor vágunk ketté egy mágneses dipólust vagyis egy mágnesrudat, minden ilyen úton keletkezett darabnak lesz egy északi és egy déli pólusa is.)
Láttuk tehát, hogy elegendő érv szól a mágneses monopólus létezése mellett. Dirac véleménye szerint „furcsa lenne, ha a természet nem használná ki ezt a lehetőséget”.
A Dirac-féle mágneses monopólusok létezése azonban nem csak az alapvető fizikai törvényeket kifejező egyenlet matematikai szépségéből következik. Valójában egyelőre még nem ismerünk egyetlen olyan fizikai törvényt sem, amely megtiltaná a mágneses monopólus előfordulását a természetben. S ami pedig nem tiltott, annak valahol, valamilyen formában kötelezően léteznie kell, vagy ahogy Murray Gell-Mann, az elemi részek furcsa és csodálatos világának „rendcsinálója” mondja: „Anything which is not prohibited is compulsory”. Tehát ha nem tudjuk kísérletileg meg találni a mágneses töltést, fel kell fedeznünk azt a fizikai elvet, mely annak létezését kizárja.
És lehet, hogy egy ilyen elv felfedezése legalább akkora jelentőségű lenne a tudomány számára, mint a fizika matematikai szépségét biztosító, Dirac által megjósolt mágneses monopólus kísérleti kimutatása.
Megjelent A Hét III. évfolyama 33. számában, 1972. augusztus 18-án.
