Toró Tibor: Bolyai és a modern fizika

Bolyai János fő művének, az Appendixnek az első levonata 1831. június 20-án, ezelőtt 140 évvel látott napvilágot Marosvásárhelyen, a Református Kollégium nyomdájában, felsővistai Káli József betűivel. Mint ismeretes, Bolyai János e munkája, habár csak az Appendix (Függelék) nevet viseli, alapvető jellegű mű a nem-euklideszi geometria megteremtésében.

A Bolyai János által megalkotott és ma is az ő nevét viselő nem-euklideszi geometria lényege tulajdonképpen már évekkel az Appendix megjelenése előtt készen volt. Az 1823-as év végén, amikor a nevezetes temesvári levelet írta, egy téli éjszaka csendjében állapította meg a fiatal Bolyai János azt az összefüggést, mely a párhuzamossági távolság és a párhuzamossági szög között fennáll. Ekkor, a felismerés boldog örömében, a felfedezés mámorában, hogy felvillant előtte az új geometria felépítésének teljes körvonala és lehetősége, ragad tollat és írja haza édesapjának, hogy „a semmiből egy új, más világot teremtettem.”

Temesvári tartózkodása alatt lázas sietséggel dolgozik tovább, hogy megalkothassa geometriája első rendszeres vázlatát. Erről az időről írja: „Még inkább fokozódó vággyal újra fogtam neki a támadásnak és… végre… sikerült teljesen keresztül törnöm ezt a minden módon megvíhatatlan sziklavárat, lerohannom és véglegesen bevennem, és evvel egy új, még fogalom szerint sem sejtett tudományt megalapítanom”
Mint minden tudós, Bolyai is arra vágyott, hogy a tér tudományával kapcsolatos új eredményeit minél hamarabb nyilvánosságra hozza. Az új geometria első rendszeres vázlatát, melyet még 1825-ben kidolgozott, ugyanabban az évben, vásárhelyi látogatásakor bemutatta édesapjának. A következő évben, 1826-ban, e vázlat javított, német nyelvű változatát elküldte volt bécsi tanárának, Walter von Eckwehrnek, aki később, aradi tartózkodása idején feljebbvalója is volt. Sajnos, ez az értekezés, a nem-euklideszi geometria első, tudományos szempontból rendszeres vázlata elveszett, azaz mai napig sem került elő, habár Bolyai szerint abban „már az egésznek az alapja le van téve”. Hasonló sorsra jutott a nem-euklideszi geometria másik megalkotójának, az orosz N. J. Lobacsevszkijnek az a francia nyelvű értekezése is, melyet 1826 február 11-én olvasott fel a kazáni egyetem fizikai és matematikai fakultásának ülésén, és amely szintén alapvető jellegű a nem-euklideszi geometria megteremtésében.

Az elkövetkező években Bolyai tovább folytatja kutatásait, de lényegesen új eredményt nem ér el. Inkább elmélyíti, tökéletesíti és részletesebben kidolgozza a már meg­levőket. Habár apja nem értett egyet kutatási irányával, mégis megegyez­tek abban, hogy a parallelákkal kap­csolatos eredményeket kinyomtatják) mint Bolyai Farkas Tentamen című hosszabb matematikai munkájának függelékét. Az apa és fia közti nézeteltérések ellenére Farkas az, aki sürgeti az Appendix megírását. Nagyon érdekes Jánosnak egyik erre vonatkozó megjegyzése: „Ha történetesen akkor (1830-ban)… az apám nem ösztönzött s mondhatni erőltetett volna a hirtelen leírásra – hihetőleg azon Appendix tartalma sem látott volna Nap-fényt”. Farkas, tapasztaltabb lévén, úgy vélekedett, hogy ha valóban értékes János elmélete, akkor sietni kell a kiadással, mert még más is megcsinálhatja. Szerinte: „bizonyos dolgoknak mintegy megvan a maguk korszaka, amikor különböző helyeken egyidőben fedeztetnek fel, s mint tavaszkor az ibolyák mindenütt kikelnek…”

Ma már tudjuk, milyen igaza volt Far­kasnak. Pedig sejtelme sem lehetett arról, hogy Lobacsevszkij, 1829-ben közölte már új elméletét „A geometria alapjairól” címmel, mely a nem-euklideszi (hiperbolikus) geometria alapjainak első publikált kifejtése. Bolyai Appendixe csak két évvel később, 1831 első felében, ezelőtt 140 évvel, jelenik meg különlenyomat formájában, és az apa művének függelékeként a következő évben, 1832-ben.

Az Appendix matematikai jelentőségének elemzése a matematikusok feladata. Ez már számos alkalom­mal úgy szóban, mint írásban meg­történt. (Lásd pl. Bolyai János élete és műve, Bukarest, 1953). Nem be­szélnék Bolyai Jánosról, az emberről sem. A hazai magyar olvasó abban a szerencsés helyzetben van, hogy kezébe veheti Benkő Samu kitűnő művét, melyben magát a vallomás­író Bolyai Jánost hallhatjuk vallani önmagáról. Az egyenes forrásból jövő, leghitelesebb információ sok­ban hozzájárul ahhoz, hogy szétrom­bolja azt a hamis mítoszt, mely Bolyaival, a Bolyaiakkal kapcsolat­ban itt-ott kialakult.

Mindezidáig azonban nagyon ke­vés szó esett arról, hogy Bolyai Já­nos műve, eszméi, gondolatai hogyan befolyásolták a modern fizika fejlő­dését, és főleg a tér fizikai szerke­zetéről alkotott fogalmaink alakulását. Pedig ezen a területen sem lebecsülendők eredményei.

Maga Bolyai János teljes tudatában volt az általa megalkotott geometria nagy fontosságának, főleg ami a fizikai tér szerkezetét illeti. Ez abból is ki­tűnik, hogy az Appendixnek a kö­vetkező címet adta: „Appendix, scientiom spatii absolute verom exhibens” (Függelék, mely a tér abszolút igaz tudományát tartalmazza). Bolyai János (és Farkas is) világosan felismerték, hogy a fizikai tér szerkezetének milyensége, tehát az, hogy a tér euklideszi-e vagy sem, „a priori soha el nem dönthető”. Ez csak mérésekkel, tapasztalati úton hatá­rozható meg.

Nagyon érdekes, hogy éppen Bolyai Farkas veti fel azt a gondolatot, mely szerint a bolygók mozgásából következtetni lehet a tér természetére. Ezt a gondolatot bő­vebben a Tentamenben fejti ki, utalván arra, hogy az égi mechanika törvényei (lényegében Kepler és Newton törvényei) az euklideszi geometriát használják. Ha valami eltérés mutatkozik az elméletileg ki­számított pálya és a megfigyelt boly­gómozgás között, ebből arra kell következtetnünk, hogy a bolygók reális mozgása nem-euklideszi geometriát követ. Ezt a gondolatot Já­nos is magáévá tette, sőt tovább is fejlesztette. Mint ma már tudjuk, a tudomány haladása fényesen igazol­ta ezt a feltevést: a Merkúr bolygó mozgásában megfigyelt rendellenes­ségekről, a perihélium elforgásáról van szó. Ezt az eltolódást csak az Einstein-féle általános relativitáselmélettel lehet megmagyarázni, amely a Riemann féle, nem-euklideszi geometrián alapul.

Az általános relativitáselmélettel kapcsolatban meg kell állapítanunk tehát, hogy geometriai vizsgálódásai alapján Bolyai János eljutott az általá­nos relativitás fizikai lényegének felismeréséhez; ahhoz, hogy a gravitá­ció, a fizikai gravitációs erőtér és a geometriai tér között belső összefüggésnek kell lennie. Ezt a következőképpen fogalmazta meg: „… a nehézkedés törvénye is szoros összveköttetésben, foljtatásban tetszik (mutatkozik) az űr termettével, valójával (alkatával), miljenségével.” Azt, hogy milyen konkrét mennyiségi kapcsolat van a gravitáció és a tér között, csak Einsteinnek sikerült kimutatnia, 1916-ban, az általános relativitáselmélet keretén belül. De Bolyai János, elméleti úton megfo­galmazván a gravitációs elmélet fi­zikai lényegét, tulajdonképpen ilyen tekintetben szinte egy évszázaddal előzte meg korát.
Éppen ezért, gon­dolom, egyáltalán nem túlzás, ha azt mondjuk, hogy a gravitáció és a geometriai tér kapcsolatának e felfedezése: a tudományos előrelátás nagyon szép példája, nemcsak a matematikai-fizikai tudományok te­rületén, hanem az egyetemes tudománytörténetben is. S mivel ez az összefüggés ma már nemcsak elmé­leti hipotézis, méltán kerülhet olyan híres tudományos predikciók sorába, mint a legelső antirészecske, a Dirac-féle pozitron, vagy Yukawa mezonja, melyeknek létezését az atomfizika olyan fényesen igazolta.

Mint ismeretes, Bolyai János nem is írhatta fel kvantitatív formában a gravitáció és a tér közötti összefüggést, egyszerűen azért nem, mert nem állott rendelkezésére az ehhez szükséges matematikai apparátus. A Bolyai–Lobacsevszkij féle nem-euklideszi geometria a relativitáselméletben használatos matematikai módszernek csak az alapjait rakta le. Egy negyedszázaddal az Appendix megjelenése után, mintegy általánosítva a Bolyai–Lobacsevszkij féle hiperbolikus és elliptikus geometriát, Bemard Riemann, 1854-ben megtartott híres értekezésében olyan diffe­renciál-geometriai módszereket ve­zetett be – az úgynevezett Riemann geometria keretében –, melyeket közvetlenül alkalmazni lehetett a fizikában. Ugyanakkor maga Rie­mann is hangsúlyozta, hogy a geo­metriai értelemben vett tér szerke­zetét végső soron fizikai tényezők határozzák meg.

Ehhez hasonló gondolatokat már Bolyainál is találunk, aki a geometriai teret nem tekinti a priori kategóriának, hanem az anyag attribútumának. Erre vonatkozólag a kővetkezőket írja: „A tér a belsejében nagyon sok olyan kincset rejt, amelyet a felszínen haladó nem lát meg sohasem. így származott az én felette fontos Appendixem”.
Einstein, felhasználva a Riemann geometriát, megteremtette a fizikai térelméletet, mely az általános relativitáselmélet nevet viseli. Ebben szervesen kapcsolódik össze a gra­vitáció és a tér geometriai szerke­zete, és ugyanakkor nyilvánvalóvá válnak azok a fizikai tényezők is, melyek meghatározzák a tér nem-euklideszi jellegét. Nevezetesen, itt a tér szerkezetét azonosnak vesszük az általános Riemann-tér szerkezetével, melynek az euklideszi geometriától való eltérését (nem euklideszi természetét) a térben eloszlott anyag különböző formái (tömeg, energia …) határozzák meg. Mivel az Einstein egyenletében szereplő, a tér geometriai szerkezetét meghatá­rozó geometriai mennyiségek ugyan­akkor a gravitációs tér tulajdonsá­gait is leírják, kimonfdhatjuk, hogy az Einstein-féle egyenletek geometrizálják a fizikát.

A fizikai és geometriai módszereknek ez az új szintézise, melynek csírája, mint láttuk, Bolyainál is megtalálható, arra ösztönözte a kutatókat, hogy a gravitációs elmélet mintájára kiépítsék a gravitációs tér és az elektromágneses tér (és később más fizikai erőterek) egységes elméletét, amelyet az elméleti fizika „egységes térelmélet” néven ismer. Habár ezen a téren azóta sok érdekes részeredmény született, sajnos még a mai napig sem sikerült sem az elektromágneses tér, sem pedig az időközben megszaporodott fizikai erőterek (mezon-terek, spinor-terek stb.) geometrizálása.

Ma azonban már senki sem von­ja kétségbe, hogy a nem-euklideszi geometriáknak óriási szerepük van a modern fizika és asztrofizika kü­lönböző ágazataiban is. Megemlítjük például, hogy az utóbbi öt évben a csillagászat egészen új iránya van kialakulóban, melyet relativisztikus asztrofizikának neveznek, ahol a nem-euklideszi geometriának nagyon fontos szerep jut olyan új kozmikus objektumok tanulmányozásában, mint a kvazárok, pulzárok, röntgencsillagok vagy kollapszárok.

Végezetül említsük meg, hogy milyen különleges szerepet játszik a nem-euklideszi geometria abban a tudományban, mely az anyag és a világegyetem legáltalánosabb törvényszerűségeit kutatja és ilyenképpen tudományos világképünk legalapvetőbb vonásainak kialakulásához járul hozzá. Ez a kozmológia, mely az utóbbi tíz év folyamán spekulatív jellegű tudományból kísérleti, empirikus tudománnyá alakult. A mai modern relativisztikus kozmológia többek között arra a Bolyai által is sokat emlegetett kérdésre próbál választ adni, hogy tulajdonképpen milyen matematikai térszerkezete van az Univerzumnak. Azaz: euklideszi-e a világegyetem vagy sem?

Bolyai János a parallelák – évszázadok óta sokak által megoldhatatlannak vélt – problémájával viaskodva, a semmiből új, más világot teremtett; olyan, „még fogalom szerint sem sejtett tudományt” alapozott meg, melynek segítségével a fizikai tér elrejtett kincsei kerültek napvilágra; olyan kincsek, melyeket „a felszínen haladó nem lát meg sohasem”.

Megjelent A Hét II. évfolyama 26. számában, 1971. június 25-én.