150 éves a híres temesvári Bolyai-levél 150 évvel ezelőtt, 1823. november 3-án, a tudományos világ előtt még akkor teljesen ismeretlen, huszonegy éves mérnökkari alhadnagy, a temesvári erődvárból küldi haza édesapjának Marosvásárhelyre azt a levelet, melynek befejező része a híressé vált sorokat tartalmazza. A levél így kezdődik: „Kedves Édes Apám! Annyi teménytelen megírnivalóm van az új találmányimról, hogy éppen most nem tudok másként segíteni magamon mint ha semmibe se ereszkedem belé, csak egy quartára írok…” A levél végén következnek az annyit idézett híres temesvári sorok: „…A fel-tételem már áll, hogy mihelyt rendbe szedem el-készítem, s mód lessz, a parallelákról egy munkát adok ki; ebbe a pillanatba nints kitalálva, de az az út, melyen mentem tsaknem bizonyosan ígérte a tzél elérését, ha az egyébaránt lehetséges; Nints meg, de ollyan felséges dolgokat hoztam ki, hogy magam is elbámúltam, s örökös kár volna el-veszni; ha meg-látja Édes Apám, meg-esmeri; most többet nem szólhatok, tsak annyit; hogy semmiből egy új, más világot teremtettem: mindaz, valamit eddig küldöttem, tsak kártyaház a toronyhoz képest.”
E levél megírása óta másfél évszázad telt el. A levélíró Bolyai János ma már az egész világon ismert matematikus, a nem euklideszi geometria egyik első megalapítója az az erdélyi magyar tudós, akinek fő műve, habár Appendix – függelék – nevet is visel, mégis alapvető jellegű mű a nem euklideszi geometria megteremtésében.
Az Appendix első levonata először 1831-ben látott napvilágot Marosvásárhelyen, a kollégiumi nyomda kezdetleges technikájával. A Bolyai János által megalkotott és ma is az ő nevét viselő nem euklideszi geometria lényege tulajdonképpen már évekkel az Appendix megjelenése előtt készen volt. 1823 végén, mikor a fent idézett nevezetes temesvári levelet írta, egy novemberi éjszaka csendjében állapította meg azt az összefüggést, mely egy pontnak valamely egyenestől való távolsága (párhuzamossági távolság) s a ponton az egyeneshez húzott párhuzamosnak a merőlegessel alkotott (x) szöge (parallel szög) között fennáll. Ez a híres összefüggés, ctg(x)=exp(x), a hiperbolikus (Bolyai–Lobacsevszkij) geometria egyik alapvető egyenlete.
Ekkor, a felismerés boldog örömében, a felfedezés mámorában, hogy felvillant előtte az új geometria felépítésének teljes körvonala és lehetősége, tollat ragad és írja haza édesapjának, hogy: „semmiből egy ujj, más világot teremtettem”. Felfedezésének ez a diadalmas hírül adása az új, más világról, Schlésinger Lajos kolozsvári matematikus, neves Bolyai-kutató szerint azt jelenti: „hogy János feltételezte a parallelák axiómájának hamis voltát, és ebből következtetéseket vont le. Már kételkedett abban, hogy következtetései közt ellentmondások léteznének.” Hasonlóképpen vélekedik V. F. Kagan szovjet geométer, az Appendix orosz fordítója is, amikor azt írja: „Ettől az időtől kezdve (1823. november 3.) nézetei megváltoznak abban az értelemben, hogy a kapott eredményeket már nem úgy tekinti, mint ahhoz az ellentmondáshoz való közeledést, amelya posztulátum bizonyításaként szolgálna, hanem mint olyan tételeket, amelyeknek a sajátos nem euklideszi geometria általa felfedezett új világában van a helye.”
Ezen jelentős eredmény elérése után, temesvári tartózkodása alatt, lázas sietséggel dolgozik tovább, hogy megalkothassa geometriája első rendszeres vázlatát. Erről az időről írja: „Még inkább fokozódó vággyal újra fogtam neki a támadásnak és… végre… sikerült teljesen keresztül tömöm, ezt a minden módon megvíhatatlan sziklavárat lerohannom és véglegesen bevennem és evvel egy új, még fogalom szerint sem sejtett tudományt, a tér tudományát megalapítanom” (kiemelés – T. T.). Mint minden tudós, János is arra vágyott, hogy a tér tudományával kapcsolatos új eredményeit minél hamarabb nyilvánosságra hozza. Az új geometria első rendszeres vázlatát, melyet még 1825-ben kidolgozott, ugyan abban az évben vásárhelyi látogatása alkalmával bemutatta édesapjának. A következő évben, 1826-ban, elméletének egy másik, javított német nyelvű változatát megküldte volt bécsi tanárának, Walter von Eckwehrnek, aki aradi tartózkodása alatt később feljebbvalója is volt. Sajnos ez az értekezés, a nem euklideszi geometria lényegének első, tudományos szempontból rendszeres vázlata, elveszett, azaz a mai napig sem került elő, habár Bolyai szerint abban „már az egésznek az alapja le van téve”. Hasonló sorsra jutott a nem euklideszi geometria másik megalkotójának, az orosz N. J. Lobacsevszkijnek az a francia nyelvű értekezése is, melyet 1826. február 11-én olvasott fel a kazani egyetem fizikai és matematikai fakultásának ülésén, és amely szintén alapvető jellegű a nem euklideszi geometria megteremtésében.
Bolyai Jánost az 1826. év második felében katonai szolgálatra áthelyezik Aradra. Ekkor már, mint említettük, geometriájának első rendszere elkészült, két változatban is. Mivel ezzel a dátummal Bolyai János temesvári tartózkodása végetér, szükségesnek tartjuk még egyszer hangsúlyozni: Bolyai János a nem euklideszi geometria alapjait Temesváron eltöltött évei alatt (1823–1826) fogalmazta meg és foglalta össze egységes rendszerbe, a már említett értekezéseiben. Tehát ilyen értelemben a temesvári időszak Bolyai János életében és a nem euklideszi geometria megalapozásában döntő fontosságúnak bizonyult.
Az elkövetkező években Aradon és Lembergben, következő tartózkodási helyein, természetesen továbbfolytatja kutatásait, de lényeges új eredményt nem ér el. Inkább elmélyíti, tökéletesíti és részletesebben dolgozza ki a már meglévő eredményeket. Noha most nem célunk Bolyai életének és munkásságának részletesebb ismertetése, szóljunk mégis a következőkben egy pár szót főművének megjelenéséről, az Appendixről. Habár apja nem értett egyet kutatási irányával, mégis megegyeztek abban, hogy Jánosnak a parallelákkal kapcsolatos eredményeit kinyomtatják, mint függelékét, „Appendixét” Bolyai Farkas Tentamen című munkájának. Az apa és fia közötti ellentétek ellenére Farkas az, aki sürgeti az Appendix megírását. Nagyon érdekes ezzel kapcsolatban János egyik erre vonatkozó megjegyzése: „ha történetesen akkor (1830-ban)… az apám nem ösztönzött és mondhatni erőltetett volna a hirtelen leírásra – hihetőleg azon Appendix tartalma sem látott volna nap-fényt”. Farkas, tapasztaltabb lévén, úgy vélekedett, hogy ha valóban értékes János elmélete, akkor sietni kell a kiadással, mert még más is megcsinálhatja, mivel szerinte: „bizonyos dolgoknak mintegy megvan a maguk korszaka, amikor különböző helyeken egy időben fedeztetnek fel, s mint tavaszkor az ibolyák mindenütt kikelnek”. Ma már tudjuk, hogy Farkasnak milyen igaza volt, pedig sejtelme sem lehetett arról, hogy Lobacsevszkij 1829-ben közölte már az új elméletét a parallelákról „A geometria alapjairól” címen, mely első publikált kifejtése a nem euklideszi (hiperbolikus) geometria alapjainak. Bolyai János Appendixe csak két évvel később, 1831 első felében jelent meg latin nyelven, különlenyomat formájában és az apja művével együtt függelékként 1832-ben.
Az Appendixszel kapcsolatban fontosnak véljük azt is kihangsúlyozni, hogy Bolyai János ebben a „matematika történetének legpompásabb huszonhat oldalában” nemcsak a parallelák kérdését oldotta meg, hanem a kör négyszögesítésének kétezer éves problémáját is. Tesszük ezt azért is, mert Bolyainak e nagy jelentőségű felfedezése, hasonlóan a kvaterniók fogalmának Responsio-beli megalapozásához, sajnos a feledés homályába merült: a kör négyszögesítésével foglalkozó igen kiterjedt nemzetközi szakirodalom Bolyai nevét meg sem említi. Pedig Bolyai az Appendixben nagyon világosan kimutatta, a matematikatörténetében először a világon, hogy a kör négyszögesítése a nem euklideszi rendszerben lehetséges és pont ez alkotja a nem euklideszi geometria „differencia specifikáját”, amely ezt az euklideszi rendszertől megkülönbözteti. Bolyai ezt a gondolatot az Appendix utolsó, 43. paragrafusában a következő tömör formában fejezi ki: „…vagy igaz Euklidesz XI-ik axiómája, vagy pedig a kör mértani úton négyszögesíthető”.
Ezt a felfedezését, miszerint az euklideszi geometriában a kör quadratúrája megoldhatatlan, a matematikatörténetben igazságtalanul Lindemann német matematikusnak tulajdonítják, aki eredményét 1882-ben, tehát az Appendix megjelenése után ötven évvel későbben közölte, és valójában bizonyításában Bolyainál geometriai szempontból sokkal kevesebbet mond. Hogy Bolyai milyen elvi jelentőséget tulajdonított a kör négyszögesítése problémájának, onnan is kitűnik, hogy az Appendix címébe is belefoglalta azt: „Függelék, amely a tér abszolút igaz tudományát tartalmazza, függetlenül Euklides XI. axiómájának (a priori soha el nem dönthető) igaz vagy nem igaz voltától; csatolván a tévesség esetére a kör mértani négyszögesítését.”
Mivel az évek folyamán Bolyai Jánossal kapcsolatban sok hamis mítosz is kialakult, szeretném azt is megemlíteni, hogy habár kutatásai a matematika absztrakt, elvi kérdéseivel foglalkoztak, Bolyai sohasem maradt elefántcsonttoronyba zárkózó szobatudós, ő nemcsak az elvont matematikai képleteknek és geometriai ábráknak tulajdonított nagy jelentőséget, hanem mindig nagyon fontosnak tartotta, hogy „az emberiségnek a lehető legnagyobb szolgálatot tegye”. A Paul Stäckel német matematikus és a Bolyaiak egyik neves életrajzírója által közzétett: „Vizsgálatok az abszolút geometria köréből Bolyai János hátrahagyott irataiban” című munkában olvashatók Bolyainak azok a sorai, melyben kifejezi örömét afelett, hogy az ő abszolút tér-tudománya is hozzájárult az emberiség előrehaladásához : „Ezzel – írja – a XI-ik axióma lényegének egészen a mélyére hatoltunk és a párhuzamosok bonyolult matériáján teljesen keresztülhatoltunk… És a szerzőben él az a meggyőződés, hogy e tárgy tisztázásával a tudomány igazi gyarapításának, az ész művelésének és így az emberi sors lendítésének egyik legfontosabb és legfényesebb lépése megtörtént.”
És ma már nagyon is jól tudjuk, hogy ez így is történt. Sőt, ma ennél sokkal többet tudunk. Ma már megfelelő távlatból tekinthetünk vissza az egész XIX. századi matematika fejlődésére, és azt is megállapíthatjuk, hogy habár Bolyai János a nemzetközi matematikai kutatás „perifériáján” dolgozott, mégis százada matematikája leglényegesebb és legfontosabb kérdéseinek és rejtélyeinek megoldásához járult döntően hozzá.
A XIX. században a matematika fejlődését annak a négy nagy kérdéscsoportnak a megoldása határozta meg, amely akkor már-már rejtélyszerű jelleget öltött. Mint ismeretes ezek a következők voltak:
1. Euklidesz V-ik posztulátumának (XI-ik axiómájának) megoldatlan kérdése;
2. A képzetes számok és azok alkalmazásának rejtélye;
3. Az algebrai egyenletek megoldásának nagy problémája;
4. A matematikai analízis alapvető fogalmai (végtelen kicsi mennyiségek, a függvény és a változó) értelmezésének kérdése.
Mindegyik kérdéscsoport megoldása olyan elméletek kialakulásához vezetett, melyek a matematikát egészében véve alakították át, meghatározva egy teljesen új matematika kialakulását. Bolyai János két főművével, az Appendixszel és a Responsióval az első két rejtély megoldását segíti elő, meghatározván ugyanakkor a matematika olyan fontos ágazatainak kialakulását, mint a nem euklideszi geometria, a komplex változós függvénytan és a hiperkomplex számok (kvaterniók) elmélete.
Ez utóbbival kapcsolatban gondolom, nem érdemtelen megjegyezni Bolyai János hozzájárulását e tudományág kialakulásához, már csak azért is, mert nemcsak életében, de sajnos halála után sem ismerték el eléggé, hogy Bolyai W. R. Hamilton neves ír matematikus mellett a kvaterniók elméletének egyik megalapítója. Kagan szovjet matematikus szerint: „A lángeszű gondolkodó, aki ebben a bonyolult kérdésben százada élén állott, kénytelen volt újabb csapást elszenvedni, amelyet csak nagyon nehezen tudott kiheverni.”
Visszatérve a fentebb tárgyaltakhoz, felmerül itt most a kérdés: vajon véletlenül jutott el Bolyai kora matematikájának leglényegesebb kérdéseihez? Szerintünk a választ erre a fontos kérdésre maga Bolyai János adja meg, akinek matematikai, tudományos ars poeticája szerint az a valódi tudós, aki nemcsak az igazat tudja megkülönböztetni a hamistól, hanem a lényeget is el tudja választani a lényegtelentől, mert „… az igazság is persze nem mind méltó a fölvételre”. Benkő Samu kitűnő Bolyai-könyve szerint: „Bolyai egyik legnagyobb tudományos erénye, hogy jól meg tudja választani kutatási területét (kiemelés – T. T.), hol aztán mindenre kiterjedő figyelemmel merül munkába”; vagy magát Bolyait idézve : „Ahol pedig járni méltónak találok – írja – ott minden szögletet szeretek eljárni… Én… nem elmevakon s a priori föltett szándokkal dolgozom: hanem okszerűleg, a ahol mi jóra új utat veszek észre nyílni, persze lehetőleg eljárom, mint írám, semmi tekintély s nehézség által vissza nem rettenvén ; ha ezt senki sem teszi: semmi új jó nem születik soha.”
Ma az információrobbanás, a tudományos-technikai forradalom és a tudományok olyan nagyfokú szakosítása korában, amikor még nagyobb problémát jelent egy tudósnak kutatási területe jó és helyes megválasztása, még ma is megszívlelendők Bolyai János fenti szavai.
Befejezésül visszatérve Temesvár és Bolyai kapcsolatához, meg szeretnék említeni egy, talán kevesebbek által ismert temesvári Bolyai-vonatkozást. Nevezetesen azt, hogy az első Bolyai-kutató, Schmidt Ferenc temesvári mérnök matematikus volt, aki az utókor számára megjelölte Bolyai János vásárhelyi sírját, melyet neki Szőts Julianna, Bolyai szolgálója mutatott meg 1893-ban. Schmidt Ferenc édesapja, Schmidt Antal mint építész gyakran vállalt munkát a temesvári katonai erődítési munkálatoknál, így volt alkalma megismerkedni a fiatal mérnöktiszt Bolyai Jánossal, és az ő elbeszélése alapján jegyezte fel Schmidt Ferenc egyik legelső Bolyai-életrajzában, 1888-ban, hogy Bolyai János, társai legnagyobb ámulatára, egyetlen csapással kettévágta kardjával az ajtófélfába bevert vastag kovácsoltvas szeget. Schmidt Ferenc áldozatkész támogatásával jelenik meg az Appendix első magyar fordítása (Bolyai latinul, az akkori nemzetközi tudományos nyelven írta) 1897-ben. Ugyancsak az ő nevéhez fűződik 1868-ban a francia nyelvű kiadása is.
Más temesvári Bolyai-vonatkozást is lehetne említeni, de álljunk meg itt. Álljunk meg, és gondoljunk arra, hogy Bolyai János „új, más világa”, melynek felfedezéséről ezelőtt 150 évvel adott hírt nevezetes temesvári levelében, a „még fogalom szerint sem sejtett tudomány” a nem euklideszi geometria, és a Responsióban megsejtett kvaterniók is, a XX. századi tudós kezében ma már olyan nélkülözhetetlen matematikai eszközök, melyeknek segítségével mélyebbre tekinthetünk be, nemcsak a geometriai és fizikai terek szerkezetébe, hanem az anyag felépítésének belső titkaiba is, azzal a céllal, hogy onnan olyan rejtett kincseket hozzunk napvilágra, melyeket – Bolyai szavaival élve – „a felszínen haladó nem lát meg sohasem”.
Megjelent A Hét IV. évfolyama 46. számában, 1973. november 16-án.