Szféra és pszeudoszféra

Mottó: Qual  è’l geomètra che tutto s’affige    per misurar lo cerchio, e non ritrova,    pensando, quel principio ond’elli indige, tal era io a quella vista nova:    veder voleva come si convenne    l’imago al cerchio e come vi s’indova; ma non eran da ciò le proprie penne:    se non che la mia mente fu percossa    da un fulgore in che sua voglia venne. A l’alta fantasia qui mancò possa;    ma già volgeva il mio disio e’l velle,    sí come rota ch’igualmente è mossa, l’amor che move il sole e l’altre stelle. Dante (1265-1321): LA DIVINA COMMEDIA

Gömb ,,A gömbfelület mindazon térbeli pontok mértani helye, amelyek egy előre megadott, középpontnak nevezett ponttól egyforma távolságra helyezkednek el, e távolságot a gömb sugarának nevezzük’’ –   tanítjuk  kisiskolásainknak, akik más úton ugyan, de sokkal érzékletesebben és közvetlenebbül már régóta jó ismeretségben vannak a gömbbel a szép gömbölyű labda formájában. Figyelemre méltó azonban, hogy ezt a világ minden táján valamiért ilyen tudálékos formában tanítják, tán még a… nyúliskolában is:

    Romhányi József Nyúliskola

    Erdőszélen nagy a móka, mulatság,
    iskolába gyűlnek mind a nyulacskák.
     A tanító ott középen az a nyúl,
     kinek füle leghosszabbnak bizonyul.
     Kezdi az oktatást egy fej káposztával,
     Hallgatják is tátott szájjal.
    
     – Az egymást tapasztó
     táposztó
     levelek képezte káposzta
     letépett
     levelein belül tapasztalt betétet,
     mely a kopasztott káposzta törzse,
     úgy hívják, hogy torzsa.
     Ha most a torzsára
     sorjába
     visszatapasztjuk
     a letépett táposztó káposztaleveleket,
     a tapasztalt rendben,
     akkor szakasztott, helyesen
     fejesen
     szerkesztett káposztát képeztünk.
    
     Ez a lecke! Megértettük? – kérdezte a nyúltanár.
     Bólogattak a nebulók, hisz mindegyik unta már.
     – Akkor rögtön feleltetek! – 
     Lapult a sok tapsifül,
     füllentettek, dehogy értik, és ez most mindjárt kisül!
    
     – Nos felelj, te Nyuszi Gyuszi! Állj kétlábra, s vázold hát,
     mi történik, ha ízekre bontasz egy fej káposztát?
     – Jóllakok! – felelte elképesztő képzetten
     a kis káposzta-kopasztó ebugatta,
     de a tanár megbuktatta.

A belseje és a külseje A gömbfelület a teret két részre osztja, egyik korlátos, ez a gömb belseje, a másik korlátlan ugyebár, ez a gömb külső tartománya. Ezeknek a megállapításoknak a forrása nyilván a megszokott háromdimenziós fizikai terünk. A tér n=3 dimenziós, a gömbünk 2 dimenziós, ennek jelölése S^2.

Ami meghatározásunkból nem igazán derül ki: az a gömbfelületünk alakja, gömbölyűsége, simasága. Persze, hogy nem derül ki, hiszen a történet épp fordított irányban zajlott: ennek a tapasztalati gömbölyűségnek és simaságnak a hosszas szemléléséből, és abból a – hogy is nevezzük – lényeg-megragadási törekvés szülte felismerésből, hogy ez a gömbölyűség egy „egyszerűen” megfogalmazható, de a gömbfelületet egyértelműen jellemző, a gömbfelület minden pontjára és csak azokra érvényes tulajdonsággal írható le. A felület akármelyik pontjának a középponttól mért távolsága ugyanaz, ami tehát egy, a gömbre és csakis a gömbre jellemző geometriai invariáns. Ez a gömb-felület geometriai „képlete”. Ennek algebrai alakja egy háromismeretlenes másodfokú egyenlet, más szóval a gömbfelület algebrai leírását egy másodfokú háromváltozós polinom zérushelyei adják.

Ugyanezt egy síkfelületen, a kétdimenziós térben is el lehet játszani, akkor az eredmény egy körvonal: az egydimenziós „gömb”: S^1. Hasonlóan a háromdimenziós változathoz, ez is két részre osztja a teret (ez esetben a síkot). A körvonal tulajdonképpen folytonos, egyszerű (a végpontot leszámítva önátmetszés nélküli) és zárt képe egy korlátos zárt intervallumnak, azonban azt a tényt, hogy egy ilyen „vonal” tényleg két részre osztja a síkot, bár intuitívan teljesen nyilvánvaló, egy rendkívül körülményesen bizonyítható tétel, a Jordan-féle görbetétel mondja ki – és máris a nehéz matematikánál vagyunk.

Ha még egyet lépünk lefele a dimenziószámmal, az n=1 egydimenziós terünk egy egyenes lesz, amelyben a „gömb-felület” mindösszesen két pontból áll, S^0. Ez természetesen már elveszíti összefüggő jellegét is.

Arkhimédész Az ókor –  sokak véleménye szerint, beleértve a jelen írás szerzőjét is – legnagyobb matematikusa a szirakuzai Arkhimédész. Természetesen egy efféle jelzőt csak költői értelemben érdemes felfogni, semmi esetre sem szigorú besorolásként: a matematikai kutatás nem hasonlítható sem sportversenyhez, sem valamilyen történelmi időkön átívelő vetélkedőhöz. Tény viszont, hogy a matematika történetében csak egyetlen egyszer történhetett meg az a csoda, hogy valaki először döbbent rá, hogy a végtelen fogalma alkalmas a véges világban érvényes összefüggések felderítésére. Arkhimédésznek a parabolaszelet területének kiszámításához kellett végtelen sok számot összeadnia. Az eredmény az, hogy ez a terület 4/3-a ama háromszög területének, amelynek alapja a szelő húr, csúcsa pedig a húrral párhuzamos érintő érintési pontja. Csak hab a tortán, hogy Arkhimédész két teljesen különböző bizonyítást is adott: az egyik geometriai, a  másik fizikai gondolatmenet…

Egy másik felfedezését Archimédész maga is annyira meglepőnek és varázslatosnak tartotta, hogy azt kérte, az összefüggést véssék rá a sírkövére.

• 

• 

Mi volt ez a felismerés? Az, hogy a gömb felszíne pontosan egyenlő a gömböt közrefogó henger oldalfelszínével, térfogata pedig 2/3-a henger térfogatának. Lazább megfogalmazásban, ha a gömbben két pohárnyi, akkor a hengerben három pohárnyi bor fér el! Ami a felszínt illeti, arra a kérdésre, hogy „mihez kell a több festék, a gömböt magába foglaló henger alakú szoba oldalfalának vagy magának a gömbnek a lefestésére?”, a válasz: ugyanannyi festék kell mindkettőre! Egyszerű és nagyszerű! Vajon miért nem így tanítjuk? Talán azért, hogy ne váltson ki csodálkozást?

Felszín és térfogat Gömbjeinknek, azaz S^(n-1)-nek természetesen van felszíne, és belsejüknek van térfogata tetszőleges térdimenzió esetén is. Ha a terünk dimenziója n, akkor a felszín és a térfogat képleteit az alábbi táblázat mutatja.

Eukleidész Az alexandriai Eukleidész (i.e. 300 körül élt) híres geometriai összefoglaló művében, amely az Elemek címet viseli, és a mai napig a mintapéldánya a tudományos gondolkodásnak és a szabatos matematikai tárgyalásmódnak, a (sík)geometria tapasztalattal legjobban egyező axiomatikus leírását fogalmazta meg. Az első négy axióma – két ponton át egyenes fektethető, az egyenes darabja, vagyis a szakasz tetszőlegesen meghosszabbítható, adott középponttal és sugárral kör szerkeszthető, és végül a derékszögek egyenlők egymással – magától értetődő. Az ötödik, amit posztulátumnak is hívott, a párhuzamossági axióma, kissé bonyolultabb: ha két egyenest egy harmadik szel át, akkor az egyenesek a szelő egyenesnek azon az oldalán találkozni fognak, ahol a két belső szög összege kisebb két derékszögnél. Egyenértékű ma szokásos megfogalmazása ennek az axiómának az, hogy egy egyeneshez egy rajta kívül fekvő ponton át csak egyetlen nem metsző egyenes húzható. Ezt nevezzük az adott egyenessel párhuzamos egyenesnek. Többen mások is, de Bolyai Farkas (1775-1856) is talált a párhuzamossági axiómával egyenértékű megfogalmazást: három, nem egy egyenesen fekvő ponton át kör fektethető.

Kétezer évig tartotta magát az a szemlélet, hogy ezt az axiómát nem lehet kikerülni. Többen is következetesen kifejtették az axióma tagadásának szigorú következményeit, s ezzel egy bizarr tulajdonságú geometria  körvonalai kezdtek kirajzolódni. A szokatlan tulajdonságokat azonban mindig elvetették, maga Gauss sem látta a nyitott kapun át lassan körvonalazódó más világ igazi létjogosultságát. Aztán Bolyai János (1802-1860) a nevezetes 1823. november 3-án keltezett temesvári levelében tudatta édesapjával, hogy felfedezett egy olyan „abszolút” geometriát, amelyben a többi axióma igen, a párhuzamossági axióma viszont nem, illetve csak határesetben teljesül, s ezzel egy hatalmas nyitás lehetőségét fedezte fel a geometria számára. Bolyai János teljesen tudatában volt felfedezése jelentőségének: ”semmiből egy ujj, más világot teremtettem”, írta. A matematika, de az egész tudomány egyik legnagyobb felfedezése ez. Stephen Hawking (1942-2018) a God Created the Integers: The Mathematical Breakthroughs That Changed Historycímmel közölt, általa szerkesztett kötetben, ahol a legjelentősebb matematikai felfedezések eredetiben megjelent szövegeit gyűjtötte össze, a Bolyai János Appendix-e is helyet kapott (2007, második kiadás).

Az említett Bolyai-levelet egy szerény mappában, de vasszekrényben őrzik Marosvásárhelyen, a Teleki Tékában. Nem tudom elfelejteni a pillanatot, amikor Osmo Pekonen finn matematikusnak kérésünkre elővették a levelet: percekig állt mélyen megilletődve, átszellemülten, összekulcsolt kézzel a levél előtt, majd engedélyt kért, hogy egyetlen ujjal diszkréten éppen csak megérinthesse…

Bolyai János elméjének rendkívüli teljesítménye annál is inkább bámulatos, mert nem állt rendelkezésére olyan geometriai tér, amely az általa felfedezett geometria tulajdonságait mutatta volna, vagyis modellként szolgálhatott volna a felfedezéshez. Az elsőnek felfedezett olyan felület, amelynek belső geometriája a hiperbolikus geometria – a pszeudoszféra volt.

Pszeudoszféra A síkban veszünk egy egyenest, és egy rajta kívül eső pontot, amelyet adott rögzített hosszúságú szakasszal az egyenes mentén „vontatunk”. A pont nyoma a traktrix, a vontatógörbe. Ezt a görbét az előbbi egyenes körül a térben megforgatva egy furcsa dupla-kürtszerű felületet kapunk, ez kapta a pszeudoszféra megnevezést. Felfedezője Eugenio Beltrami (1835 – 1900).

Itt a kép azért csak részlet, mert a teljes pszeudoszféra látványáért csekély 430 eurót kér a cég, amelyiknek kínálatából kiollóztam. Nem ellenőriztem, hogy a gömb képe esetleg olcsóbb vagy drágább…

Miért szféra a pszeudoszféra Sima felület bármely pontjában a felületre merőleges egyenes húzható. Ekörül egy, a felületet metsző síkot körbeforgatva, e síkban görbéket látunk. Ezeknek az adott pontban különböző görbülete van. A legkisebb és legnagyobb ilyen görbületet főgörbületnek nevezzük, és ezek szorzata a Gauss-görbület abban a pontban. Az r sugarú kör görbülete 1/r, ezért a gömb Gauss-görbülete az 1/r^2, állandó, a gömb minden pontjában. A pszeudoszféra, magyarul álgömb. Az álgömb Gauss-görbülete szintén állandó: -1/r^2, az álgömb minden pontjában. Ezért „gömb” az álgömb. Továbbá felülete és területe szintén véges, bár ő maga a gömbbel ellentétben végtelen kiterjedésű, nem kompakt felület.

A pszeudoszféra egyenesei a felület geodetikus vonalai, azaz azok a vonalak, amelyek mentén két pont között a legkisebb a mért távolság. A pszeudoszférán a Bolyai-féle hiperbolikus geometria teljesül, lokálisan. Például, jellemző módon, egy háromszög szögeinek összege itt kisebb két derékszögnél. Az eukleidészi síkon a háromszög szögeinek összege pontosan két derékszög. A gömb felületének is van geometriája, itt az egyenesek az úgynevezett főkörök, s egy háromszög szögeinek összege itt két derékszögnél nagyobb. Megjegyzendő, hogy a gömbön az egyenes szakaszok meghosszabbíthatóságának axiómája nem teljesül, ez tehát egy más típusú nem eukleidészi geometria.

A pszeudoszférának mint a hiperbolikus síkgeometria modelljének jelentősége abban áll, hogy beágyazottsága az eukleidészi háromdimenziós geometriába a hiperbolikus geometria ellentmondásmentességét az eukleidészi geometria ellentmondásmentességével teszi egyenértékűvé.

Belső geometria Az eddigiekben a felületek az őket körbefogó térnek az eukleidészi geometriáját örökölték, tehát a beágyazottságuk egyben a rajtuk lévő geometriai összefüggéseket is meghatározta. Egy nagyobb lélegzetvétellel elszakadhatunk ettől a megkötéstől.

Képzeljük el, hogy a gömbfelületen nem a főkör-ívek mentén, ezek hosszaként mérjük két pont távolságát, hanem a pontokat a gömb belsejében összekötő szakaszok hosszaként. Ezzel alapvetően megváltoztattuk a gömbfelület geometriáját: egy saját belső geometriát értelmeztünk, amely nem egyezik a beágyazásból örökölt eukleidészi geometriával. Például egy főkör-ív mentén haladva az A-tól C-ig, egy utunkba eső B ponton áthaladva eddig azt mondhattuk, hogy az AC távolság egyenlő az AB és a BC távolságok összegével, most azonban, az új geometriában, ez a távolság a másik kettő összegénél szigorúan kisebb lesz. Ha a szögmérést is a gömb belsejébe húzott szakaszok között mérjük, akkor egy olyan geometriánk lesz a gömbfelületen, ahol két szakasz által bezárt szög mértéke függ a szakaszok hosszától, és annál kisebb, minél hosszabbak a szakaszok.

Tekintsük most egy kétpalástú hiperboloid egyik palástját és az aszimptotikusan ehhez simuló kúpot. A palást centrális vetülete egy, a kúp csúcsán átmenő, a tengelyére merőleges síkra egy körlap belseje, ha a vetítési centrum a hiperboloid másik palástjának csúcsa. A kúp csúcsát tartalmazó síkok hiperbolákban metszik a hiperboloidnak ezt a palástját. Ezek centrális vetületei lesznek az egyenesek a körlapon, ezek olyan körívek, amelyek merőlegesen érkeznek meg a körvonalra, de nyilván nem érik el azt. A távolságokat a körlapon a hiperboloidon fekvő hiperbolák mentén mérjük, s így a Bolyai hiperbolikus geometriájának egy modelljét, kapjuk. Ez a Poincaré-modell.

A hiperbolikus sík-geometriának több más modellt is találtak, mint például a Beltrami-Klein modell, a Poincaré fél-sík modell stb. Külön említést érdemel számunkra egy rendkívül érdekes modell, ahol az egyenesek szinusz-görbék. Ezt a modellt Némethi András professzor, Erdőszentgyörgy szülötte, a Magyar Tudományos Akadémia levelező tagja közölte még bukaresti egyetemi hallgató korában! A dolgozat a Studii și cercetări matematice folyóiratban jelent meg Asupra geometriilor Euclidiană și neeuclidiene plane címmel, 1983-ban.

Sík kitöltése szabályos sokszögekkel Vegyünk egy szabályos háromszöget. Ki lehet úgy csempézni a gömbfelületet, hogy a háromszög minden csúcsa körül három csempe találkozzon? Igen. Hát négy? Úgy is. Hát öt? Igen. Na és hat? Ekkor már nem lehet. Legyen ezeknek a csempézéseknek a rövidített típus-neve (3,3), (3,4), (3,5) és (3,6), általában pedig (n,m). Az első három típus a gömbfelületen valósítható meg, a negyedik pedig az eukleidészi síkon.

• 

• 

• 

• 

S itt akkor vége a történetnek? Dehogy! A hiperbolikus síkon (3,7), (3,8)… de akár tetszőleges (n,m) típusú hézagmentes csempézés megvalósítható!

• 

• 

• 

• 

Az első képsorhoz hozzá van szoktatva a látásunk. A második képsort úgy kell látni, hogy ott is csupa… szabályos sokszög van! Azt a kis gondot, hogy az összes fehér szakasznak azonos a hossza, fentebb már begyakoroltuk. A látvány ezt csak azért nem támasztja alá, mert az eukleidészi sík nem elég tágas ahhoz, hogy ez a csempézés ott elférjen. De a hiperbolikus síkban rengeteg hely van, ott sokkalta tágasabb a tér, ott minden csempézés elfér! A képeket Jeff Weeks matematikus Kaleido Tile nevű szoftverével készítettem.

Van esetleg más megoldás a hiperbolikus sík ilyen kicsempézésének a szemléltetésére? Igen, ha a hiperbolikus síkot egy nagyobb dimenziós eukleidészi térbe ágyazzuk be. Nehéz kérdés, hogy melyik az a legkisebb dimenziós eukleidészi tér, ahol torzulásmentesen, azaz az ott érvényes eukleidészi metrikával mérve is egyenlő oldalúak a szabályos három-, négy- öt-, hat- vagy tetszőleges oldalszámú szabályos sokszögeink. (Ez a dimenziószám mellesleg nem több mint hat, de az öt vagy a négy még nyitott kérdés.) Mindenesetre a háromdimenziós eukleidészi térbe bezsúfolt hiperbolikus sík valahogy így néz ki.

• 

• 

• 

Hangsúlyozom, a hiperbolikus jelzővel illetett képek ugyanazt a geometriai alakzatot, a síkot ábrázolják!

Topológia A topológia a geometriai alakzatoknak azokat a tulajdonságait vizsgálja, amelyek kölcsönösen folytonos átalakítással változatlanok maradnak. Így például a gömb felülete és egy kocka vagy egy gúla felülete teljesen azonos.

Egy huncut kérdés: kifordítható-e a gömbfelület? Emlékszünk, az okos leány ezzel az ötlettel vágta ki magát, amikor a király azt kérte tőle, hogy stoppolná meg a kilyukadt üvegkorsókat. A király bizony nem tudta a korsókat a fonákjukra kifordítani. A gömb viszont folytonos és sima deformációval – önátmetszést megengedve, de szingularitást, azaz élek keletkezését, más megfogalmazásban, a gömb pontjaiban a gömbhöz húzott érintősík létezését megkövetelve és ezek ugrásszerű változásait kizárva – a háromdimenziós térben kifordítható! Az önátmetszés engedélyezése lényeges: ha az önátmetszés nem engedélyezett, akkor a gömb, azaz S^2, a háromdimenziós eukleidészi térben nem fordítható ki!

• 

Természetesen – különösen az algebrai egyenlettel történő leírás birtokában – léphetünk a dimenzióval felfelé is. Kérdezzük meg, hogy kétdimenziós gömbünk kifordítható-e, ha a négydimenziós térbe van ágyazva? A válasz nagyon egyszerű: igen, kifordítható, sőt akkor is kifordítható, ha megtiltjuk az önátmetszést!

Algebrai topológia A különböző dimenziójú gömbök a legegyszerűbb alakzatok a topológia szempontjából. Ezért pontosan ezeket használhatjuk az alakzatok tulajdonságainak a „mérésére”. Például ha a körvonalat – az egydimenziós gömböt – elhelyezzük egy vizsgálandó felületen és a felületet nem elhagyva (figyelem, ennek most nem kell geometriailag szabályos körnek lennie, hiszen most meg van engedve tetszőlegesen deformálni az alakzatokat, mindössze a folytonosságot kell szem előtt tartani) a kört megpróbáljuk egy ponttá zsugorítani, akkor ezzel a technikával mintegy feltérképezhetjük az alakzatot: leírhatjuk annak topológiai tulajdonságait. Ráadásul ezek a mérések algebrai struktúrákba szervezhetők, s ily módon alakzatokhoz topológiailag invariáns algebrai struktúrákat rendelhetünk.

A legegyszerűbb gömbökkel vizsgálható topológiai alakzat – szintén a gömb. Ha a már említett háromdimenziós gömböt, az S^3-at vizsgáljuk az S^1-el, azt tapasztaljuk, hogy minden körvonalunk ponttá zsugorítható. Az ilyen tulajdonságú alakzatra azt mondjuk, hogy egyszerűen összefüggő.

A Poincaré-sejtés azt mondja ki, hogy minden egyszerűen összefüggő, zárt (határral nem rendelkező) háromdimenziós sokaság a topológia szempontjából maga is a háromdimeziós gömb, az S^3. A sejtést Grigori Perelman orosz matematikus bizonyította. Az egymillió dolláros sikerdíjat, a Clay matematikai kutatóintézet felajánlását azonban diszkréten elutasította. Ilyen is van…

Fizika A gömb a fizikában is kulcsszerepet játszik. Ilyenkor a gömb szimmetriacsoportja kerül előtérbe. Említsük meg a gömbszerűségnek mindössze egyetlen, közvetett, de rendkívül látványos és mélyreható következményét.

A kvantummechanika mindenekelőtt a vegyi elemek – kémiai viselkedést meghatározó – fizikai tulajdonságaira kereste a magyarázatot. A kémiai elemek atomjai egy, az atom méreténél több mint négy nagyságrenddel kisebb térrészbe koncentrált, bizonyos számú protont és neutront tartalmazó atommagból, továbbá bizonyos számú elektronból tevődnek össze.

Hogy néz ki a legegyszerűbb atom, a hidrogénatom? Az elektronok mint részecskék az atommag körül keringenek – javasolta Niels Bohr. A Bohr-modellről azonban kiderült, hogy egész sor kísérletileg is észlelt jelenséget nem lehet vele megmagyarázni. Kiderült például, hogy az elektron nemcsak részecske, hanem hullám alakban is képes megnyilvánulni, továbbá egy adott pillanatban a mozgásállapotát (impulzusát) és a tartózkodási helyét nem lehet egyszerre akármilyen pontosan meghatározni.

Az elektronszerkezetet az atomban a Schrödinger-egyenlettel sikerült leírni. Ez egy lineáris parciális differenciálegyenlet, amely a térkoordinátákban másodrendű, az időkoordinátában pedig elsőrendű. Megoldását – és most jön a lényeg – a gömbi koordinátákra való áttéréssel kapjuk meg. Ekkor egy fantasztikus kép tárul elénk: az elektronok „valószínűségi felhőt” képeznek az atommag körül, amelynek az alakjai a mellékelt táblázatban láthatóak.

• 

Gömböc A gömböc – nevében és alakjában rokon a gömbbel – magyar találmány, de ennél több: egy olyan ténylegesen megszerkesztett és megépített homogén konvex test, amelynek az elméletileg lehetséges legkevesebb stabil egyensúlyi pontja van: egy. Van egy instabil egyensúlyi pontja is. Erről részletesen lehet olvasni például a Qubit portálon megjelent beszélgetésben magával a feltalálóval, Domokos Gábor műszaki egyetemi tanárral, a Magyar Tudományos Akadémia rendes tagjával, aki tizenhárom évvel ezelőtt találta fel a gömböcöt.

A szférák zenéje

A „szférák zenéje” ősi püthagoreus hagyomány, amelyről Platón is írt. Alapja az az elképzelés, hogy a bolygók és csillagok láthatatlan gömbök, szférák felszínére rögzítve mozognak. Püthagorasz és követői ezeket az égi mozgások rendjét kifejező arányokat vetették össze a zenei harmóniát adó megpendített húrok hosszarányaival. A szférák zenéje tehát eredetileg az értelemnek (arányérzéknek) s nem a fülnek szóló muzsika volt. Akik a szférákat a szó fizikai értelmében vett gömböknek gondolták, úgy érveltek, hogy azoknak a sok forgás következtében rég el kellett volna kopniuk. A szférák fizikai léte ellen fölhozott érvek fontos szerepet játszottak a geosztatikus világkép megdöntésében…

Az első személy, aki mélyen elgondolkodott a világűr, a fizika és a zene kapcsolatán, a német Johannes Kepler volt 1619-ben. Mint ismeretes, az ő nevéhez fűződik a bolygók mozgásának kiszámítása. Kepler úgy vélte, hogy a Naprendszer működése közvetlenül átalakítható zenei hangokká, ahol az egyes bolygók szögsebessége adja meg a megfelelő frekvenciát. E felfedezését a Szférák zenéjének nevezte, és A világok harmóniája című munkájában részletességgel leírja. Tömören arról van szó, hogy a bolygók Nap körüli sebessége adja a hangmagasságokat. Ha közel járnak hozzá, és gyorsabban keringenek, a hang is magasabb, ha távolodnak, akkor mélyebb a hangjuk. Ha mindehhez hozzávesszük a többi csillagrendszert, akkor a bolygók mozgása már hullámmozgássá válik, és ez összefüggő zenei dallamot alkothat.

• 

• 

Mindenesetre Kepler ilyen harmónia-keresgéléseket tartva szem előtt – kísérletileg a Tycho Brahe pontos megfigyeléseit tartalmazó följegyzések elemzéséből – fedezte fel a bolygómozgás harmadik törvényét: A bolygók keringési idejének négyzetei arányosak a keringési ellipszispályák fél nagytengelyeinek köbeivel. Newton ezeket felhasználva találta meg a magyarázatot is a bolygók mozgására.

Modern változat Ezúttal csak játék, legalábbis egyelőre. A NASA rögzítette pár évvel ezelőtt a bolygók és a Nap sugárzását az elektromágneses hullámtartományban. Ezeknek a frekvenciáknak a hallható tartományba való transzponálásával jöttek létre ezek a kozmikus hangok:

Jellemzi-e egyértelműen egy rezonátor hangspektruma, lehetséges rezgéseinek sajátfrekvenciái – a doboz alakját? Nem. Sikerült ellenpéldát szerkeszteni…

A már említett finn matematikus, Osmo Pekonen, a The Mathematical Intelligencer Vol 15 No 4, December 1993  pp. 2o-24 számában rendkívül bájos, ugyanakkor a matematikai tartalom tekintetében rendkívül informatív cikket közölt, The Heavenly Spheres Regained, azaz (én így fordítanám), A mennyei szférák új köntösben, címmel. Jelen írás mottóját ebből a cikkből kölcsönöztem, kissé illetéktelenül, miután Osmo  ó-olasz eredetiben ízleli Dante szárnyalásait a kilenc mennyei szféra ,,dimenziói’’ között: Pokol, Purgatórium és Menny, a maguk hármas rétegződésével.

A cikk egyébként a különböző dimenziós gömbök ,,misztikus’’ megjelenéséről (is) szól a modern szuperhúr-elméletekben. Az elemi részek leírásával kapcsolatos bizonyos reparametrizációs invariancia anomáliáknak az eltűnése egy D dimenziós görbületmentes Minkowski  tér-időben, kizárólag D=10 esetén lehetséges, innen egy 10-dimenziós fizikai térmodell lehetősége, 10=1+9, az 1 az idő… Ami tisztán a differenciálható struktúrákat illeti a különböző dimenziós gömbökön, … az S^4 esete még nyitott kérdés, de az S^6 gömbön 28 különböző módon lehet a deriválást értelmezni, s ezek egy algebrai struktúrát is alkotnak…

Költészet A gömböt, bár tökéletes forma, önmagában nem érezzük szépnek, mert túlságosan szabályos, túlságosan is gazdag a szimmetria-csoportja. Kissé eltorzítva kapjuk a tojás alakját – és gazdag szimbolikus tartalmát.

(*) kiemelés tőlem.

Képzőművészet, grafika A hiperbolikus sík (6,4) típusú hézagmentes kicsempézésének Escher féle változata az angyal és a sátán összefonódásának képében.

• 

Szobrászművészet Természetesen Constantin Brâncuși (1876-1957)… és ,,A Vak Szobrász’’ (Karinthy Frigyes egyik karcolatának címe)

• 

• 

• 

Társadalomfilozófia? Ez az a pont, ahol meg kellene állnom és abba kellene hagynom. Itt a játék a gömbszerűséggel olyan lenne, mint a játék a labdával, a foci, amihez ugyebár mindenki jobban ért. Több bőrt lehúzni a gömbről azzal a veszéllyel fenyegetne, hogy a csupasz káposztatorzsát tapasztalnánk meg a markunkban, s utólag aztán hogyan tapasztanánk a leveleket a helyes sorrendben vissza?…

Tény, hogy a gondolati fejtegetések is annál szebbek és meggyőzőbbek, minél kerekdedebbek, árnyaltabbak maradnak, s nem lesznek szúrósak, vágósak, laposak. És ha csak finoman világítják meg a gömb… pardon, a (káposzta)fejünk belsejét, elménk rejtettebb zugait. Valami matematikának itt is kell lennie talán, ha már Bolyai János is próbálta az Üdvtanban matematikusi éleslátását efelé irányítani…

Talán érdemes lenne lefejtegetni egy-két lapit, s közelebbről megvizsgálni kívánatos vagy nemkívánatos elsorvadását, kimutatni egy-két lapiról bármennyire életerős is, annak valójában csupán káros vadhajtás-jellegét. Vajon nem lehetne láthatóvá tenni, csak úgy mellékesen, néhány modern (a  „civilizált” világban alkalmazott) társadalomszervezési alapelv közmegegyezést vezérlő beidegződésének mélyebb szerkezetét, annak, drámai, esetleg életbevágó és veszélyes torzulását?

Ilyenkor szokták mondani a matematikusnak: jó-jó, de ez nyakatekerten általános fogalmazás, lássunk néhány példát. Íme. De ezek tényleg csak illusztrációs célt szolgáló példák, címszavas szövegezésben.

• A Föld a miénk” versus mi vagyunk a Földé. Állítólag van már olyan ember, aki „földet” vásárolt… a Holdon…
• Törekvés az ember életének „örökös”  meghosszabbítására versus a generációk örök életére való törekvés.
• A műszaki civilizáció kiszolgálja az embereket versus az emberek szolgálják ki a műszaki civilizációt. Hol van a helyes arány? Van-e egyáltalán ilyen határvonal, vagy az eleven béka csendes megfőzésének folyamatában, csapdájában vagyunk már?
• Életet kizárólag a természet teremt, az ember erre nem képes. Életet kioltani az ember is tud. Ezt hogyan kell látni és kezelni?
• Az ember szuverenitása versus a társadalom szabadsága mint a gömb belső és külső tartománya. Azt már tudjuk, hogy bármelyiket a másikba átfordítani csak önátmetszéssel lehetséges. Konkrét példaszerűség:  ha a társadalomnak szabad felülírnia a gyermek biológiai nemét a társadalmi nemmel, az –  a külső-belső terek felcserélésének következtében – átmetszi a határt, megszünteti, kiegyenesíti a gömbszerűséget… és meg is született az igazi ”lapos Föld”…
• Mi a szerepe az absztrakciónak, illetve az axiomatikus, elméleti jellegű működési előírásoknak, amelyeknek folyományai aztán a konkrét működést vezérlik a társadalom-szervezésben? (Lásd alkotmány.)
• Szükség van-e a Teljesség Tudatának (bármit is jelentsen ez) megjelenítési próbálkozásaira a társadalom túléléséhez? (Például költészet, képzőművészet, zene, tánc stb.)
• Végül egy igazi játékos kérdés: Milyen tartalmat kellene kommunikálnunk magunkról, az emberről és az emberiségről egy esetleges földönkívüli civilizációval való tényleges találkozás alkalmával?

Egy szó mint száz, talán kívánatos lenne jó „axiómákat” választani, amelyekből jó ”tételeket” lehet eredeztetni. S menet közben, időnként, a szükségnek megfelelően, ugyancsak jó axiómákkal egészíteni ki az alapokat, elkerülve az önmegsemmisítéshez vezető ellentmondásokat. Játsszunk tovább egy kicsit.

Társadalomfilozófiai minielmélet

1. Axióma A közösségi döntések mindig hatékonyabbak, mint a diktátori (uralkodói) döntések.
2. Axióma Az egyéni szabadság fontosabb, mint a közösség szabadsága.
3. Axióma Szabad az, aki bármit megtehet, ami mások szabadságát nem korlátozza.
4. Axióma A szabadság elfogadása kötelező.
5. Axióma (Posztulátum) Az emberiség küldetése a világűr elfoglalása és benépesítése.

Tétel. Szabad megfogalmazni ebben a tételben bármilyen kijelentést, majd azt az axiómákból levezetni. Szabad az axiómák rendszerét további axiómákkal kiegészíteni. Szabad ellentmondásokat felfedezni a rendszerben.

Akinek sikerül egy ilyen Elméletet megszerkeszteni, ennek gyakorlati alkalmazási kézikönyvét Izmusnak hívhatja.

Tétel. Minden Izmus tragédiába viszi a társadalmat.

Bizonyítás. Eddig talán nem így történt minden alkalommal? Q.E.D.

A játéknak vége.

A mottó magyarul: Miként a mérnök, ki a kört szeretné     megmérni, töpreng, hogy titkába lásson,     de mérő elvét hasztalan keresné: ollyá tett engem ez uj látomásom     töprengve tudni, hogyan egyesűle     kör a képpel, s hogy árad át egymáson, de szárnyam ahhoz hasztalan feszűle –     mig villám fénye tárta szememet fel     és égő vágy ekként teljesűle. Csüggedtem volna, lankadt képzelettel,     de folyton-gyors kerékként forgatott     vágyat és célt bennem a Szeretet, mely mozgat napot és minden csillagot. Dante (1265-1321) Isteni Színjáték,  Babits Mihály fordítása