Korunk matematikáját az axiomatikus gondolkodás jellemzi. Szinte minden matematikai diszciplínát axiomatikusan építünk fel, azok pedig, amelyeket nem ilyen alapvetés nyomán tárgyalunk – axiomatikusan megalapozott diszciplínákban gyökereznek. Felmerülhet a kérdés, hogy erről miért kell annyit beszélni, hiszen minden világos: 1. az axióma sarkigazságot, alapigazságot jelent; 2. nem csak a matematika, hanem minden tudomány néhány alapigazságból igyekszik kiindulni. A minap egy történész barátom mondta valamiről: ez axióma, sarkigazság – majd felém fordulva folytatta –, mint nálatok a matematikában. Megdöbbent, amikor azt válaszoltam, hogy az axiómák a matematikában nem feltétlenül jelentenek sarkigazságokat.

Az idők folyamán a fogalmak tartalma megváltozhat. Az axióma ma használatos fogalma nem fedi a régi tartalmat. Egykor valóban sarkigazságot jelentett. Idézzünk azonban Edgar Allan Poe-tól: „A matematikai axiómák nem az általános igazság axiómái. Ami például gyakran igaz alaki és mennyiségi összefüggésekre vonatkozólag, éppenséggel hamis és nem áll meg, ha erkölcsi térre visszük át. Ezen a téren sokszor megdől a matematikának az az állítása, hogy az összeadott részek egyenlők az egésszel. S ez a matematikai axióma a vegytanban sem áll meg. Az indító erőkre sem igaz, mert két meghatározott erő egybetéve nem szükségszerűen ugyanaz az érték, mint külön-külön vett értékeik összege…”

Látható, hogy Edgar Allan Poe korában, sőt magának a költőnek a felfogásában is, az axióma vitathatatlan alapigazságnak számított. A költő éppen azt állítja, hogy a matematikai axiómák (sarkigazságok) nem általános érvényűek, nem alkalmazhatók minden fenntartás nélkül a létező világ bármely területére. A költő ezt akkor sejtette meg, amikor azt még csak három-négy ember tudta. Lobacsevszkij Kazányban már kinyomtatta művét a nem euklideszi geometriáról, Bolyai János Appendixe is akkoriban látott napvilágot és Gauss udvari tanácsos úr is látta már az új geometria körvonalait, talán már meg is írta Taurinusnak azt a levelét, amelyikben megtiltja, hogy erről bárkinek is bármit beszéljen. Mert a tanácsos úr nem vállalta, hogy megdöntse az uralkodó világnézetet. A nagyközönség, sőt a tudományos világ erről mit sem sejtett, s csak jó harminc esztendő után kapja meg Eötvös József, a Magyar Tudományos Akadémia elnöke azt a nevezetes levelet, amelyikről így tudósít: „A napokban levelet kaptam a Római Akadémia matematikus osztálya elnökétől, amelyen örültem és elszomorodtam egyszerre, és melynek tartalmából most sem tudom, büszkék legyünk-e avagy piruljunk. Az elnök tudósít, hogy ugyanazon postával Bolyai Jánosnak és Farkasnak Rómában kijött biographiáját küldi… melyhez Bolyai Jánosnak a paralellák teóriájából írt kisebb munkája szintén fordításban csatoltatott. Ez a munka… állítólag a római tudósok nézete szerint a legnagyobb, mi a matematika körében a század alatt történt… és hogy azon ember soha sem volt akadémikus, Erdélyben félbolondnak tartatott…”

Íme tehát, van költői előrelátás; vagy talán véletlen az egész, s csupán Edgar Allan Poe matematika iránti viszolygásából fakad?

De ideje volna az axióma fogalmának a mélyére nézni. Ezt a legjobban

A FOGALOM TÖRTÉNELMI FEJLŐDÉSE

tükrében tehetjük meg. A matematika története messzire nyúlik vissza. Tudjuk, hogy a sumérok, babilóniaiak, egyiptomiak matematikai ismerettára már nagyon gazdag volt. Meglepő számítási technikával rendelkeztek, csodálatosan sokat tudtak csillagászatból, és geometriai ismereteik sem voltak megvetendők. De – legalábbis jelenlegi ismereteink szerint – ez a nagy tudás inkább receptszerű szabályok gyűjteménye – logikai indoklás nélkül. A bizonyítás a görögöknél vált általános követelménnyé, náluk kezdett a matematika leíró tudományból deduktív tudománnyá válni. Miben áll a matematika deduktív jellege? Abban, hogy az egyes állítások (tételek) igazságát levezetjük, már bebizonyított tételeket más, korábban bebizonyított tételekre vezetünk vissza, ezeket ismét még előbb bizonyított tételekre és így tovább. Ez az eljárás azonban nem folytatható a végtelenségig. Valahol egyszer meg kell állnunk: néhány tételt el kell fogadnunk bizonyítás nélkül. Ezek az axiómák. A görögök addig mentek a bizonyításokkal, míg olyan állításokhoz nem jutottak, amelyeket nem tudtak másokra visszavezetni, de amelyek igaz voltát a mindennapos gyakorlat bizonyította. Ilyen állítások például a következők: két ponton át mindig egyetlen egyenes fektethető (az egyenesek vonalzóval való szerkesztése ezt nap mint nap igazolta); három, nem egy egyenesbe eső ponton egyetlen sík halad át (a háromlábú szék szilárdan áll a lábán, míg a négylábú billeg, ha az egyik láb rövidebb vagy hosszabb).

AZ ELSŐ MŰ,

amelyik a matematikát néhány axiómára építi fel, Euklidész Elemek című műve. Ebben Euklidész néhány posztulátumból és axiómából indul ki. Nem tudjuk pontosan, milyen elvek szerint osztályozta az alapigazságokat posztulátumokra és axiómákra, lényeges azonban, hogy ezeket vitathatatlan alapigazságként kezelte.

Sok gondot okozott a matematikusoknak Euklidész XI. axiómája, amely egyes kiadásokban az V. posztulátumként szerepel: ha két síkbeli egyenest metszünk egy harmadikkal, és ha a metsző egyenes ugyanazon az oldalán fekvő belső szögek összege kisebb, mint két derékszög, akkor a két egyenes metszeni fogja egymást a metsző egyenesnek azon az oldalán, amelyiken a két belső szög összege kisebb két derékszögnél.

Ez az axióma – bonyolult megfogalmazásáról nem is beszélve – nem tekinthető olyan evidens igazságnak, amelyet a gyakorlat nap mint nap igazol. Nem lehetünk biztosak benne, hogy ha a két belső szög összege csak nagyon kevéssé tér el a két derékszögtől, akkor a két egyenes valóban metszi egymást. Ez legalábbis gyakorlatilag nem ellenőrizhető, hiszen a metszéspont, ha létezik is, nagyon messze van.

Közben az is kiderült, hogy a IV. posztulátum (bármely két derékszög egyenlő) bizonyítható a többi axióma és posztulátum segítségével. Ez nagy lendületet adott a kutatásoknak. A matematikusok (Prokiosz, Sacheri, Lambert, Legendre, Schweikert, Taurinus, Bolyai Farkas) két évezreden át próbálták a paralellák axiómáját a többi axióma segítségével bizonyítani. Ezek a kísérletek mind sikertelenek maradtak, egy eredményük mégis volt: egy sereg állításról kiderült, hogy logikailag ekvivalens az V. posztulátummal, azaz kölcsönösen levezethetők egymásból.(Ilyen állítás például az, amely szerint egy egyeneshez egy rajta kívül fekvő ponton át csak egy párhuzamos húzható.) Ezek a vizsgálatok másrészt egész sor olyan tételhez vezettek, amelyek a párhuzamosok axiómájának felhasználása nélkül bizonyíthatók, tehát függetlenek az V. posztulátumtól. (Ilyen például az a tétel, amely szerint valamely háromszög belső szögeinek összege nem nagyobb két derékszögnél.) Az említett matematikusok általában a reductio ad absurdum módszerrel próbálkoztak. A paralellák axiómájának vagy egy ezzel ekvivalens állításnak a tagadásából indultak ki, és igyekeztek ellentmondásra jutni. Ez vagy sikerült vagy nem, de olyankor, amikor sikerült, a gondolatmenetbe észrevétlenül becsempésztek egy, az V. posztulátummal egyenértékű állítást. Az állítások pedig, amelyek az V. posztulátum tagadásából születtek – egyre sokasodtak, rendszereződtek és önálló életet kezdtek élni. Ezen az úton indult el Bolyai János is, de ő már több tapasztalattal rendelkezett, mint elődei, és nem esett bele az ekvivalens állítások csapdájába. Egy lázas éjszakán, amikor levezette az abszolút (az V. posztulátumtól független) trigonometriai képleteket, megvillant a nagy ötlet: a paralellák axiómája nem szükségszerűen igaz. Felépíthető egy olyan geometria, amelyik az V. posztulátum tagadásán nyugszik.

Ugyanakkor – Bolyai Jánostól függetlenül – Lobacsevszkij és Gauss is erre az eredményre jutott, Lobacsevszkij ki is dolgozta az új, a nem euklidészi geometriát. Gauss azonban – mint említettük – semmit sem közölt az eredményeiből.

A nem euklidészi geometriával együtt megszületett a modern axiomatika egyik alapelve: az axiómák nem abszolút igazságok, hanem valamely diszciplína olyan tételei, amelyeket a többi közül kiválasztva bizonyítás nélkül fogadunk el. Ezekből aztán levezetjük az összes tételeket.

VALAMELY TUDOMÁNY FELÉPÍTÉSE

közben nem elég azt vizsgálni, hogy az egyes tételek hogyan következnek egymásból – tisztázni kell a fogalmakat is, amelyekkel az illető tudomány foglalkozik, tanulmányozni kell az eljárásokat, amelyekkel a fogalmak bevezethetők. A fogalmak bevezetésére általában a definíciót használjuk.

Egy fogalmat definiálni, meghatározni annyit jelent, hogy megadjuk a fogalom nemét (az általánosabb fogalomkört, amelyikbe a meghatározandó fogalom tartozik), majd megadjuk a fogalom faját (a speciális jegyeket, amelyek az illető fogalmat a többi fogalomtól megkülönböztetik). Például: „a paralelogramma olyan négyszög, amelynek a szemben fekvő oldalai párhuzamosak” definícióban megadtuk a fogalom (paralelogramma) nemét (négyszög) és a faját (a szemben fekvő oldalai párhuzamosak). Egy fogalom azonban nem mindig definiálható. Van úgy, hogy a fogalom annyira általános, hogy nincs neme. Ilyen a matematikában a halmaz fogalma. Mondhatjuk, hogy a halmaz bizonyos közös tulajdonságokkal rendelkező dolgok gyűjteménye, de bárki megkérdezhetné akkor: mi a gyűjtemény? És kiderül, hogy a gyűjtemény ugyanazt jelenti, mint a halmaz, tehát a fogalmat definiálni próbálván nem mondtunk mást, mint azt, hogy a „halmaz az – halmaz”.

A másik eset, amelyben a fogalom nem definiálható, az, amikor a fogalom annyira egyedi, hogy már nincs faja, nem tudunk specifikus jegyeket felsorolni. Ilyen: a pont, az egyenes, a sík. Euklidész ugyan megpróbálta definiálni ezeket (például azt mondta, hogy „a pont az, aminek nincs része”), de próbálkozásai nem fogadhatók el szabatos definícióknak.

Az ilyen fogalmakat logikai kategóriáknak szokták nevezni, a matematikában alapfogalmaknak, olykor primér fogalmaknak nevezzük. Ezeket definíció nélkül fogadjuk el. Igen ám, de az alapfogalmak tartalmát is tisztázni kell! Ha nem definícióval, akkor másképp. Ha nem akarunk ellentmondáshoz jutni, akkor fel kell sorolnunk az alapfogalmak tulajdonságait, méghozzá úgy, hogy a felsoroltakon, valamint az ezekből logikusan következőkön kívül nem tételezhetünk más tulajdonságokat. Hogyan soroljuk fel ezeket az alaptulajdonságokat? De hiszen már fel is soroltuk ezeket, maguk az axiómák mondják ki az alapfogalmak alapvető tulajdonságait! És ezzel eljutottunk a modern axiomatika második alapelvéhez: bizonyos fogalmakat alapfogalomként, definíció nélkül fogadunk el, és ezeknek a tartalmát az axiómák határozzák meg, azáltal, hogy leírják azokat az alapvető tulajdonságaikat, amelyekből a többi tulajdonságuk levezethető.

Ezeket az alapelveket Hilbert fogalmazta meg először, és a Grundlagen der Geometrie című munkájában ezek szerint az elvek szerint állította össze a mértan axiómarendszerét.

Felvetődik a kérdés: miként válasszuk meg azokat az állításokat, amelyeket axiómaként fogadunk el? Ebben lényegében szabad kezünk van, de tiszteletben kell tartanunk a következő követelményeket: 1. az axiómarendszer legyen ellentmondásmentes, azaz ne következzék belőle valamely állítás és ugyanakkor annak tagadása is; 2. az axiómarendszer legyen független, az az egyik axióma se legyen levezethető a többiből; 3. az axiómarendszer legyen teljes, ami azt jelenti, hogyaz illető diszciplína minden tételét le lehessen vezetni az axiómákból.

Ezeket a Hilbert által megfogalmazott követelményeket ma úgy emlegetjük, mint a klasszikus értelemben vett ellentmondásmentesség, függetlenség, illetve teljesség követelményeit.

Amint láttuk, valamely diszciplína alapfogalmait definíció nélkül vezetjük be, és csak annyit tudunk róluk, hogy alaptulajdonságaikat az axiómák írják le. Ezzel lényegében megfosztottuk a fogalmakat a tartalmuktól és formálisan kezeljük azokat azaz formalizáltuk az illető diszciplínát, illetve axiómarendszert. Az ilyen axiómarendszereket félig formalizált rendszereknek nevezzük. A formalizálásra azért van szükség, hogy amikor a tételeknek az axiómákból és egymásból való szigorú levezethetőségét vizsgáljuk, ne tegyük ki magunkat annak a veszélynek, hogy valamely fogalommal – annak tulajdonságaként – becsempésszünk az axiómákból nem következő állításokat is. Hiszen láttuk, hogy Bolyaiék előtt szinte minden matematikus ebbe a hibába esett. A fogalmak tartalma itt ballasztként jelentkezik, amit ki kell dobnunk, hogy csak a fogalmak közötti logikai kapcsolatok maradjanak meg.

A századforduló körül felbukkanó halmazelméleti ellentmondások nagy vihart keltettek matematikus körökben. Fellendültek a matematika alapjai körüli vizsgálódások. A matematikusok egy része (Zermello, majd Fraenkel, Neumann János, Bernays, Gödel) a geometria hilberti axiomatikájának mintájára hozzálátott a halmazelmélet axiomatikus felépítéséhez. Ez sikerült is, rendelkezésünkre állnak halmazelméleti axiómarendszerek. Ezek egyikéből sem lehet levezetni az ismert halmazelméleti ellentmondásokat, viszont ez idáig egyiknek sincs még bizonyítva az ellentmondásmentessége. Időközben Russell kutatásai során kiderült, hogy a halmazelméleti ellentmondások egyben logikai ellentmondások is, tehát még mélyebbre kell ásni, a logikai alapokat is vizsgálni kell. Szükségessé váll a logika formalizálása is. Ez úgy történik, hogy az egyes logikai műveleteket (implikáció, konjunkció stb.) szimbolizáljuk, ezeket nem definiáljuk, hanem formálisan bevezetjük és axiomatikuson megadjuk alaptulajdonságaikat. Az egyes kijelentések itt már logikai formulák alakjában jelentkeznek és maguk az axiómák is formulák. A logikai axiómákon kívül meg kell adni azokat a következtetési szabályokat is, amelyeket a rendszerben használni szabad. A nem logikai állítások és axiómák is megfogalmazhatók a szimbolizált logika segítségével és formula alakjában jelentkeznek. (Például a „ha x egyenlő y-nal, akkor y egyenlő x-szel” állítást így írhatjuk fel: x =y => y = x) Ha most egy axiómarendszer mellé odacsatoljuk a formalizált logika axiómáit és következtetési szabályait, úgy, hogy az adott axiómarendszer axiómáit is formulák alakjában írjuk fel a logikai szimbólumok segítségével, akkor egy teljesen formalizált axiómarendszert kapunk. Ezeket szokták még formális rendszereknek is nevezni.

A FORMÁLIS RENDSZEREKBEN

két irányban szoktak vizsgálatokat végezni. Egyrészt azt vizsgálják, hogy az axiómákból miként vezethetők le a tételek, és általában vizsgálják a rendszer belső összefüggéseit. Az ilyen irányú vizsgálatokat szintaktikus vizsgálatoknak nevezzük, az ide tartozó módszereket és eredményeket pedig együttesen szintaxisnak. Másrészt a modellek segítségével vizsgálják a formális rendszereket. Valamely formális rendszer modelljén olyan konkrétan megadott halmazt értünk, amelyen a rendszer relációi interpretálhatók, és amelyben a rendszer axiómái teljesülnek. A formális rendszerek modellek segítségével történő vizsgálatát nevezzük szemantikus vizsgálatnak, az idevágó módszerek összességét pedig szemantikának. A két vizsgálati iránynak megfelelően beszélünk szintaktikus ellentmondásmentességről, függetlenségről, illetve teljességről és szemantikus ellentmondásmentességről stb.

Egy formális rendszerben más logikai eljárást, mint amit a logikai rész axiómái megengednek, nem szabad használnunk és más fogalmakat, mint amiket a formulákkal definiáltunk, nem vezethetünk be.

De a formális rendszerről magáról beszélni kell, és ehhez használni kell valamilyen nyelvnek bizonyos szavait. Ezek a szavak alkotják a metanyelvet. A formális rendszerekről megállapításokat, igaz kijelentéseket teszünk, ezeket nevezzük metatételeknek, ezek levezetéséhez bizonyos logikai rendszerre van szükség, ezt nevezzük metalogikának. Mindezeket együttvéve nevezzük metamatematikának vagy metaelméletnek. A metamatematika tehát a formális rendszerek tudománya, amelyet bizonyításelméletnek is szoktak nevezni. Fontos szerepe van az alapok vizsgálatában, hiszen a természettudományok a környező világ tanulmányozására csak megalapozott, ellentmondásmentes matematikai diszciplínákat használhatnak fel.

Sokat lehetne még írni arról, hogy milyen eredményekre jutottak a matematikusok a bizonyításelméletben, milyen problémák merültek fel, milyen álmok valósultak meg és omlottak össze. Beszélhetnénk a formalisták elszánt ellenfeleiről, az intuícionistákról, akik kidolgozták a maguk módszerét és speciális logikáját, és azzal próbálják a matematikát felépíteni. De talán a fentiek is elegendőnek bizonyulnak ahhoz, hogy az olvasó röpke pillantást vethessen a modern matematika egyik területére.

Megjelent A Hét IV. évfolyama 50. számában, 1973. december 14-én.