A szakember szemszögéből nézve remekbe szabott könyvet írt Benkő József a topológiáról (A topológia elemei) Dacia Könyvkiadó, Kolozsvár-Napoca, 1975). Könyvében – aránylag röviden – sikerült áttekinthetően összefoglalnia azokat a legfontosabb eredményeket, amelyeket ebben az alapvető matematikai diszciplínában az ötvenes évek derekáig elértek.

Nem célunk a könyv részletesebb elemzése, inkább a diszciplína alapcélkitűzését érzékeltetnénk. Egyrészt azért, mert a matematikának ez a viszonylag új ága még nem „szelídült“ olybá, hogy arról minden iskolát végzett embernek fogalma legyen, másrészt, mert az idézett könyv – egyébként a mai igényeknek megfelelően – az absztrakció olyan magas fokáról indul el, ahol a nem szakavatott olvasó már nem sejtheti meg a gyökereket, s így nem alkothat intuitív képet magáról a topológia tárgyköréről.

Persze rövid cikk keretében egy ilyen intuitív kép kialakítása elég hálátlan feladat: szakterminológia használata nélkül mondanivalónkhoz eleve bizonyos pontatlanságok elkövetésének tudatával kell hozzákezdenünk.

Képzeljük el, hogy mértani alakzatot készítünk rugalmas anyagból, például gumiból. Ez az alakzat összenyomással, hajlítással eltorzítható. Ha eközben csupán arra ügyelünk, hogy az anyagot ne szakítsuk el és ne érintsük össze az alakzatnak két olyan pontját, amely eredetileg nem érintkezett, közelítően pontos intuitív képét kapjuk az alakzat egy olyan transzformációjának, amely folytonos, kölcsönösen egyértelmű, és amelynek inverz transzformációja is folytonos. Azt mondjuk, hogy az új alakzat az eredetiből topologikus transzformáció (átalakítás) révén adódik.

Például egy zárt gumiszalagból készített körből topologikus transzformáció útján nyerhetünk ellipszist és sok minden más, síkbeli vagy térbeli, szabályos vagy szabálytalan zárt görbét.

De ily módon nem alakíthatjuk át a kört egyenes szakasszá (ehhez el kellene szakítani a szalagot!), sem egy nyolcas alakú síkgörbévé(ehhez össze kellene érintenünk a szalagnak két olyan pontját, amelyek eredetileg nem érintkeztek!).

Téglalap alakú gumilapra húzzunk egymást metsző vagy nem metsző, egyenes vagy görbe vonalakat. A szemléletesség kedvéért nevezzük a téglalapon belül kialakult zárt síkidomokat országoknak, magát az országokkal telerajzolt felületet térképnek. Próbáljuk befesteni ezeket az országokat csupán négy különböző szín felhasználásával, oly módon, hogy egymással határos két ország ne legyen egyszínű. Tegyük fel, hogy ez sikerült. Most vessük alá térképünket egy akármilyen topologikus transzformációnak. Ily módon térképünk egy görbékkel telerajzolt bonyolult térbeli felületté változhat. De az így nyert térkép mégis megőrzi az eredetinek egy fontos tulajdonságát: szomszédos országoknál nem lép fel ugyanaz a szín.

A felsorakoztatott példákkal nemcsak a topologikus transzformáció fogalmát igyekeztünk érzékeltetni, hanem arra is fel akartuk hívni a figyelmet, hogy a mértani alakzatoknak vannak olyan tulajdonságaik, amelyek a topologikus transzformációk után is megőrződnek. (Ezeket topologikus tulajdonságoknak nevezzük.)

Topológiának nevezték el azt a XIX. században kialakult matematikai diszciplínát, amely a mértani alakzatok topologikus tulajdonságaival foglalkozik. Ez a „topos“ (hely), „logos“ (összefüggés, beszéd) szavakból összeállított elnevezés 1847-ben jelent meg először J.B. Listing egy ilyen jellegű munkájában.

A „térképnek“ az a tulajdonsága tehát, hogy befesthető vagy sem négy színnel úgy, hogy szomszédos „országoknál“ ugyanolyan színűek ne legyenek (ez a mai napig is általánosságában megoldatlan, úgynevezett négyszínprobléma!) – a topológia vizsgálati körébe tartozik. Ily módon a topológia kezdeteikor geometriai problémákból merített, s a geometria ágaként fejlődött önálló matematikai diszciplínává.

Az elmondottakból kitűnik, hogy a felületek topologikus tulajdonságainak vizsgálata szorosan kapcsolódik maguknak a topologikus transzformációknak, s az ezeknél általánosabb folytonos transzformációknak a vizsgálatához. Ez utóbbiak azok, amelyek az alakzatok különböző részei közötti érintkezési összefüggéseket őrzik meg. Még szemléletesebben: ilyen transzformáció az, amely a rugalmas anyagból készült alakzatot szakításmentesen deformálja. De ezeknek a fogalmaknak egzakt megfogalmazása egy más nagy matematikai diszciplína, a függvények tulajdonságaival foglalkozó matematikai analízis keretében lehetséges. Ennek megteremtését éppen a folytonos fizikai jelenségek leírásának szükségessége indokolta.

Talán ebből a néhány mondatból is érezhető, hogy a topologikus problémák valójában nem kimondottan geometriai jellegűek, sokkal inkább határterületét képezik több diszciplínának, elsősorban a geometriának és a függvénytannak. Ez a tény különös élességgel domborodik ki B. Riemann, majd H. Poincaré és F. Klein függvénytani vizsgálataiban a múlt század második felében.

Felmerült tehát annak szükségessége, hogy az eredetileg geometriai köntösben megjelenő topológiai fogalmakat, problémákat olyan általános keretben fogalmazzák meg, amelyek alkalmassá teszik a geometriában megismert módszerek, gondolatok egy részének alkalmazását más területeken is. A lehetőséget a G. Cantor által – a múlt század második felében – megteremtett halmazelmélet biztosította. A közönséges geometriai tér (az úgynevezett euklideszi tér) fogalmát egy tetszőleges halmazéval helyettesítették. A tér pontjainak szerepét az adott halmaz elemei, a térben elhelyezkedő mértani alakzatok szerepét az adott halmaz bizonyos részhalmazai vették át. A század elejének olyan matematikus kiválóságai, mint a francia M. Fréchet (1906), a magyar Riesz Frigyes (1908), a német F. Hausdorff (1914), a lengyel C. Kuratowski (1922) felfedezték az euklidészi térnek azokat a legfontosabb tulajdonságait, amelyeket az adott halmaztól axiomatikusan megkövetelve, lehetővé válik az adott halmazon a folytonos és topologikus transzformációk értelmezése.

Az ilyen tulajdonságokkal felruházott halmazt topologikus térnek nevezzük. A topológia pedig – mai értelemben – az a matematikai diszciplína, amely a topologikus terekkel, kissé pontosabban: e tereknek azon tulajdonságaival foglalkozik, amelyek a vizsgált terek topologikus (homeomorf) transzformációi esetén nem változnak meg.

Ennek az absztrakt elméletnek tehát csupán őse, s egyben speciális fejezete az a geometriai elmélet, amelyet a múlt században neveztek topológiának.

Megjelent A Hét VI. évfolyama 42. számában, 1975. október 17-én.