Írásomat FÖLDES LÁSZLÓ, A Hét főszerkesztőhelyettese, kedves kollégám és barátom emlékének ajánlom.
1939… a háború felhői sötétítik el az emberiség felett az eget.
1939… nagy terjedelmű mű első kötete jelenik meg Párizsban.
A mű címe szerénynek tűnik: A matematika elemei. De csak első pillantásra. Valójában becsvágyó cím, hiszen Euklidész i.e. harmadik században írt Elemek című művére emlékeztet. Ez pedig két évezred matematikai oktatására és kutatására hatott.
Az első kötet megjelenése talán nem is okozott különösebb feltűnést. De további kötetek egész sora hagyta el a nyomda épületét. A háború alatt és után. Számuk negyven felé közeledik. Mindegyik kötet rendkívül mély, koncentrált stílusban írt tanulmány a matematika alapvető ágairól, gondolatairól. A mű szerzője: Nicolas Bourbaki.
Mind többen tették fel a kérdést: ki lehet ez az 1939-ig ismeretlen szupermatematikus? Akiről az olyan tekintélyes szakember, mint G. Köthe mainzi professzor is csupán annyit ír egy művével foglalkozó tanulmányában, hogy „szerzőnk személyi adatai kissé bonyolultak és titokzatosak”. Forduljunk tehát H. Cartan párizsi professzorhoz, a jelenkor matematikájának egyik vezéregyéniségéhez, aki a következő érdekes történetet meséli:
A XVII. században két krétai hazafi, Emanuel és Nicolaus Skordylis olyan hősiesen harcolt a betolakodó törökök ellen, hogy azok „Vourbachi” (hős) előnévvel ruházták őket fel. A nevet büszkén viselték, azt utódaik örökölték. A görög nyelvben a név lassan Bourbakivá változott. Napóleon bátyja, Emanuel egyik késői utódját, Sauter Bourbaki tengerjárót üzenettel küldte Egyiptomba fivéréhez. Arra figyelmeztette az akkori Bonaparte tábornokot, hogy térjen vissza Franciaországba, mert az idő államcsíny végrehajtására alkalmas. A hatalom átvétele után Napóleon hálából gondoskodott Sauter Bourbaki három fiának neveltetéséről. Egyikük francia tiszt lett. Ennek fia, Charles Bourbaki szintén katonai pályát választott, tábornoki rangot ért el. Ő volt az, aki az 1870/71-es porosz–francia háború alatt hadseregét átvezette a svájci határon, hogy az ne kerüljön hadifogságba. Egyik húga feleségül ment egy távoli unokatestvéréhez, Nicolaus Bourbaki egyik leszármazottjához. A Bourbaki-család e két ágának összefonódásából származik a matematikus Nicolas Bourbaki. Magáról Nicolas Bourbakiról Cartan professzor sem árul el semmit, és csak munkásságáról hajlandó nyilatkozni…
Próbáljunk tehát mi is bepillantást nyerni Bourbaki művébe, jelentőségét csak úgy tudjuk felmérni, ha néhány szót ejtünk a matematika fejlődéséről.
*
A XVI. században Viéte (latinosan Vieta) bevezette a formális betűkalkulust, mellyel ma minden kisdiák algebrai tanulmányainak elején megismerkedik. Ez, bármennyire egyszerűnek tűnik ma, valósággal forradalmasította a matematikát. A matematikusok kezébe került egy olyan apparátus, amelynek birtokában bonyolult gondolatmeneteket röviden és a hibalehetőségek lényeges csökkentésével végezhettek el. A matematika gyors fejlődésnek indult. Lényeges eredmények születtek a már addig is vizsgált területeken, így például az egyenletek elméletében és a számelméletben. De újabb diszciplínák is születtek. Így Descartes (latinosan Cartesius) munkássága folytán, a geometria algebrizálásának eredményeként, kialakult az analitikus mértan. Fermat, Leibniz és Newton munkássága eredményeként megszületett a XVII. és XVIII. század fordulóján a differenciál- és integrálszámítás. Ez a határértékfogalomra épült diszciplína, az ún. matematikai analízis, rendkívül alkalmasnak bizonyult a fizikai jelenségek tanulmányozására, olyan jelenségekére, amelyek vizsgálata – a terület- és térfogatszámítási problémák mellett – éppen kiindulópontja volt a matematikai analízis megteremtésének. A szakemberek éltek is a lehetőséggel. A mozgások jellemzésére, vizsgálatára a matematikai analízis keretében kifejlesztették a differenciálegyenletek elméletét. Ez lehetővé tette Lagrange-nak a XVIII. század második felében a mechanika általános princípiumainak felfedezését, felhasználva Euler variációszámítási eredményeit. Az égi mechanika keretében, a bolygók mozgásának leírásában látványos és fontos eredmények születtek. Laplace érdeme, hogy a valószínűségszámítás kilépett gyerekcipőjéből. A matematikusok bátran alkalmazták és állandóan továbbfejlesztették egy olyan diszciplína számítási apparátusát, amelynek alapfogalmát, a határérték fogalmát még meglehetős homály fedte. Megnyugtatta őket az a tény, hogy eredményeik a fizikai valóságnak megfelelnek.
Nagyon vázlatosan ez volt a helyzet a matematikában az 1800-as évek elején.
A problémák finomabb vizsgálata azonban mindinkább óvatosságra intett. Szükségessé vált a matematikai analízis alapfogalmainak tisztázása, a módszerek alkalmazási határának pontos körvonalazása, új fogalmak és módszerek bevezetése olyan problémák vizsgálatára, amelyeknél a már megállapított módszerek nem bizonyultak hatásosaknak. Az intuíciót párosítani kellett a matematikai szigorral, a rigurózus gondolatmenetekkel. Ennek a folyamatnak egyik legmarkánsabb úttörője Cauchy volt, a múlt század elején. Munkássága révén, amely többek között a folytonos (és nem akárhányszor deriválható) függvények vizsgálatára is ráirányította a figyelmet, a matematikai analízis valóban tudományos elméletté vált. Cauchy rigurozitásra intő koncepciójáról többé már nem mondtak le a matematikusok. Nemcsak a matematikai analízis területén, hanem a matematika más diszciplínái keretében sem. És a matematika története bebizonyította, hogy ez a felfogás nemcsak a meglévő eredmények „szőrszálhasogató” vizsgálatához vezetett, hanem a matematika újabb, nagyarányú fejlődésének kiindulópontjává vált.
*
A rigurózus gondolatmenetekhez való ragaszkodás, az alapok tisztázására vonatkozó törekvés természetes módon vezetett el az axiomatikus módszer alkalmazásához a matematika új ágaiban is. Ennek lényege: kiválasztani bizonyos minimális számú elsődleges fogalmat és ezekre vonatkozó olyan – lehetőleg – minimális számú, végsőA rigurózus gondolatmenetekhez való ragaszkodás, az alapok tisztázására vonatkozó törekvés természetes módon vezetett el az axiomatikus módszer alkalmazásához a matematika új ágaiban is. fokon a tapasztalaiból leszűrt és bizonyítás nélkül elfogadott állítást, ún. axiómát, melyek alapján egy diszciplína többi fogalma már értelmezhető, többi állítása bizonyítható.
Az axiomatikus módszer használata régi keletű. Euklidész az Elemekben ezt próbálta alkalmazni több mint kétezer évvel ezelőtt a geometriában. Nem véletlen tehát, hogy az axiomatikus módszer újkori alkalmazására a geometriai kutatások szolgáltattak első alapot. Euklidész híressé vált párhuzamossági axiómájának (a sík egy adott egyeneséhez egy rajta kívül álló ponton keresztül pontosan egy párhuzamos húzható) a többi axiómából való levezetésére irányuló sikertelen kísérleteket annak más axiómákkal való helyettesítésének sikeres kísérletei követték (Gauss, Lobacsevszkij, Bolyai, majd Riemann). És ugyanolyan koherens geometriai elméletekhez jutottak, mint az euklidészi mértané. Azok realitását pedig a fizika későbbi eredményei is igazolták. Másrészt Euklidész axiómarendszerének pontatlanságait (több axiómát nem vett észre, azokat gondolatmeneteiben hallgatólagosan feltételezte) Hilbertnek sikerült kiküszöbölnie a múlt század végén.
Az aritmetika axiomatizálása terén Dedekind és Peano szereztek elévülhetetlen érdemeket a múlt század végén.
Az axiomatikus vizsgálatoknak különösebb lendületet adtak a múlt század második felében kikristályosodott halmazelméleti ellentmondások, paradoxonok. Ezek kiküszöbölésére irányuló törekvések egyik eredménye a gondolkodás formalizálásának tudománya, a matematikai logika.
De a múlt század matematikai kutatásai még egy újabb gondolat érlelődéséhez is tápanyagot adtak. 1800 körül még természetesnek tűnt, hogy a matematikus geometriai idomokkal, számokkal és olyan függvényekkel foglalkozik, amelyek – mai nyelven szólva – számhalmazokon értelmezettek. A művelet fogalma a számfogalomhoz kapcsolódott. A problémák mélyebb vizsgálata maga után vonta a matematika által vizsgált objektumok számának lényeges megnövekedését. Az új objektumokkal – vektorokkal, logikai ítéletekkel, általánosabb függvényekkel (egyenlet gyökeinek permutációival, mértani transzformációkkal stb.) speciálisan értelmezett műveleteket kellett végezni, az azok közötti relációkat kellett vizsgálni.
Annak a szintetizáló törekvésnek megvalósítására, hogy az ily módon megsokasodott problémák, módszerek közös magvát megtalálják, meg kellett teremteni egy olyan fogalmat, amely elég általános, „színtelen” ahhoz, hogy ne viselje magán az egyes objektumok konkrét jellegét. Ez a halmaz fogalma. Elméletének megalapítója Cantor a múlt század második felében. Meg kellett fogalmazni a művelet és reláció absztrakt fogalmait. Vizsgálni kellett szerkezeti, strukturális szempontból a műveletekkel ill. relációkkal ellátott halmazokat, az ún. algebrai és relációs struktúrákat. Az új, általános keretben már nem volt kielégítő Cauchynak és követőinek (Weierstrass, Bolzano és mások) a – közben általánosabbá vált – matematikai analízis megalapozására irányuló erőfeszítése. Meg kellett teremteni egy olyan fogalmat – ez a környezet fogalma –, amelynek segítségével a valós számokénál általánosabb halmazokban is bevezethető és vizsgálható a határérték és az ezzel kapcsolatos fogalmak. Ezeknek az ún. topologikus struktúráknak vizsgálatára új diszciplína kristályosodott ki századunk elején, Fréchet, Hausdorff, Riesz Frigyes, Kuratowski munkássága folytán. A struktúrák vizsgálatára Galois algebrai jellegű vizsgálatai hívták fel a figyelmet még a múlt század első felében. Nem véletlen tehát, hogy a strukturális vizsgálat – axiomatikus módszerrel – az algebra keretében épült ki először.
*
A megadott fejlődéstörténeti vázlat annyira rövid, hogy szükségképpen hiányos is. De talán kidomborítja azt a tényt, hogy a matematika a strukturális vizsgálatok gondolatával, a struktúrák rigurózus, axiomatikus vizsgálatának gondolatával lépett át a XX. Századba. A matematikai analízis alapjainak strukturális szempontból való tisztázása elmaradt a fejlődésben. Nem véletlenül. Hiszen az analízisben a műveletes, rendezési és topologikus struktúrák egyidejűleg, összefonódva lépnek fel.
Az 1934/35-ös tanévben határozta el Bourbaki, hogy az új követelményeknek megfelelő matematikai analízis-tankönyvet ír. Mivel azonban az analízisben az említett háromféle alapvető struktúra együttesen lép fel, hamarosan rájött arra, hogy eredeti tervét csak úgy valósíthatja meg, ha a három alapvető struktúra egységes vizsgálatát végzi el, axiomatikus módszerrel. Ez pedig egyenértékű az egész matematika alapjainak, irányt meghatározó elméleteinek axiomatikus, tehát teljes rigurózus felépítésével, strukturális szempontból.
Íme Bourbaki vállalkozásának nagyszerűsége! A szerényebb célból egy grandiózus terv született, és Bourbaki hozzákezdett ennek a tervnek a megvalósításához.
Már majdnem négy évtizede munkálkodik művének első részén, melynek címe az eredeti célkitűzés nyomát is magán viseli: „Az analízis alapvető struktúrái”. Ezt egyelőre hat ún. „könyvre” osztotta a nagyobb problémakörök szerint: halmazelmélet, algebra, általános topológia, egyváltozós valós függvények, topologikus vektorterek, integrálszámítás. Könyveinek fejezetei kötetekben látnak napvilágot. Minden fejezet szigorú logikai következéssel épül az előzőekre. A kötetek megjelenésének időrendi sorrendje gyakran eltér a logikai sorrendtől. Ez természetes, hiszen Bourbakinak olykor meg kell írnia egy későbbi fejezetet ahhoz, hogy pontosan tudhassa: mire van szüksége annak megalapozásához. Másrészt a matematika rohamosan fejlődik a világ matematikusainak közős erőfeszítése nyomán. A matematikusok tanulnak Bourbakitól, és Bourbaki tanul a többi matematikustól. És új ismereteinek leglényegesebb alkotóelemeit be kell építenie művébe. Szigorú logikai sorrendben. Ez magyarázza azt, hogy néhány évvel ezelőtt még első könyvéhez is megjelentetett kiegészítő kötetet.
Úgy tűnik tehát, hogy Bourbaki nem fogja tudni befejezni művét. Ez nagyon valószínű. Hiszen Bourbaki nem az 1939-es év matematikáját akarja tükrözni, hanem a jelen matematikáját. A jelen matematikusának akar segíteni – a jövő kutatásai érdekében, A jelen pedig gyorsan múlttá válik. És a rohamos fejlődés Bourbaki egyes fogalmait is túlhaladottá teszi. Egyszer talán kötelességének érzi, hogy mindent elölről kezdjen? Jelenleg évente mintegy 20 ezer új eredményeket tartalmazó matematikai közlemény jelenik meg. A nap huszonnégy órából áll. Az élet véges. Joggal teheti fel a kérdést az olvasó: a Bourbaki munkásságáról, terveiről írt sorok nem tartoznak-e a tudományos-fantasztikus írások körébe? Nem!
De ideje fellebbenteni a titokzatosság fátylát! Nos, Bourbaki egy matematikuscsoport fedőneve. Az 1934/35-ös tanévben alakult a századközép matematikájának olyan vezető egyéniségeinek kezdeményezésére, mint H. Cartan, C. Chevalley, J. Dieudonné, A. Weil. Az alapítók, az ún. „membres fondateurs” fokozatosan félreálltak, fiatalok álltak és állnak helyükre, így Bourbaki örökké fiatal marad. Mint az emberiség.
*
A csoport munkamódszere éppen olyan figyelemreméltó, mint eredményei. Évente háromszor találkoznak egyenként egy-két hétre, csendes, nagy városoktól távol fekvő helyen. Itt további kötetek tervét beszélik meg. A javaslatok alapján minden problémakörből egy arra kijelölt tag írásbeli beszámolót készít. Ezt a tagok részére sokszorosítják, majd egy következő találkozó alkalmával megvitatják. A vita alapján az egyes fejezeteket egy-egy, de most már másik tag újraírja. És kezdődik a folyamat elölről, így a mű minden fejezetét többször, olykor hatszor, nyolcszor is átírják.
Amikor egy-egy kötet elhagyja a nyomdát, akkor annak tartalmában már lehetetlen felfedezni az egyes tagok egyéni hozzájárulását. Az már egyetlen „személy” műve, és ezt Nicolas Bourbakinak hívják. Amilyen nagyszerű az állandóan gazdagodó mű, olyan csodálatos az őt létrehozó, állandóan újjászülető csoport munkamódszere.
Tanulságos és példamutató. Mindennél jobban bizonyltja, hogy az eredményes munka egyik leglényegesebb előfeltétele a kutatók összefogása, rendszeres véleménycseréje. Ez pedig csak úgy lehetséges, ha a kutatók rendszeres találkozását elősegítjük, az elől minden gátat eltüntetünk. Az egyetemes tudomány fejlődésének előmozdítójává válik, aki ennek az egyszerű igazságnak megfelelően cselekszik, fékezőjévé ellenkező esetben.
Általánosabb síkra vetítve, úgy vélem, hogy a Bourbaki-csoport magas erkölcsi szintet képviselő tevékenysége példaképül szolgálhat magának az emberiségnek is. Talán eljön az idő, amikor bizonyos vonatkozásban le tudunk mondani egyéniségünkről – olyan értelemben, ahogyan azt a Bourbaki-csoport tagjai teszik. Az emberiség nagy célkitűzéseinek megvalósítása és egyúttal saját egyéniségünk gazdagítása céljából…
Megjelent A Hét IV. évfolyama 5. számában, 1973. február 2-án.