A mértan már az ókor minden civilizált államában ismert és elismert tudomány volt. A hajózáshoz, az építkezésekhez, valamint a gátak készítéséhez szükséges volt bizonyos geometriai törvényszerűségek ismerete, majd az ismeretek rendszerezése. A kínaiak időszámításunk előtt négyzer évvel már ismerték és alkalmazták a ma Pitagorasz-tétel néven ismert törvényt, amely később az egyiptomiak és babilóniaiak számára sem volt ismeretlen. A tétel Görögországba voltaképpen miletoszi Thalész révén került Egyiptomból ie. a VI. században.
A két nagy – Pitagorasz és Thalész – után ezek követői számos mértani állítást dolgoztak ki, de az első nagy, minden addigi geometriai ismeretet összefoglaló alkotás, Euklidész Stoicheia, magyarul Elemek című, 13 könyvből álló munkája „csupán” időszámításunk előtt háromszáz évvel látott napvilágot. A könyvnyomtatás feltalálása óta több mint ezer kiadása jelent meg, de a mértant azelőtt is elsősorban ennek kézírásos másolataiból tanították. Ez a könyvsorozat nemcsak a matematikusokra volt és van nagy hatással, hanem logikai szerkezete révén a tudományos gondolkodásra általában.
Euklidész a mértanba első könyvében vezet be: 8 meghatározás, 5 posztulátum és 9 axióma segítségével. Az axiómák és posztulátumok viszonya azonban nem teljesen világos, s így az azóta sokat vitatott „párhuzamossági axióma” mint 11. axióma vagy V. posztulátum néven vált ismertté a szakirodalomban.
Ez az állítás, amely évezredek során át foglalkoztatta a tudományos világot, matematikusokat, filozófusokat egyaránt, sok vitának volt oka, ezáltal mintegy termékeny talajt teremtve számos fölfedezés számára. Igaza van-e Euklidésznek, amikor a párhuzamosságról szóló megállapítást posztulátumnak (postulare=kérni, latinul) nevezi, vagy pedig ez „megszokott” tétel: a többi, elsődleges megállapítás következménye? A matematika számára hasznos vita sok esetben szélsőséges formát öltött: vagy elfogadjuk Euklidész igazát, vagy nem, s ebben az esetben ez utóbbit teljesen elvetjük. A XlX. század szenzációs tudományos felfedezései után B. Riemann, illetve D. Hilbert döntöttek a „per”-ben: Euklidésznek igaza van. Viszont a nem euklidészi mértan tudorai sem tévedtek, a görögök hagyományos mértana egy sajátos esete lévén a nem euklidészi geometriának.
Euklidész az V. posztulátumot a következőképpen fogalmazza meg: ha két egyenest metszünk egy szelővel, és ha a szelő egyik oldalán keletkezett belső szögek összege kisebb mint két derékszög, akkor ezen az oldalon meghosszabbítva a két egyenest, metszeni fogják egymást. Ezt a mondatot igyekeztek kétezer éven keresztül bizonyítani (vagy legalább bizonyíthatatlanságát igazolni), azonban minden ilyen kísérlet eredménye egy-egy olyan állítás volt, amely nem volt független, hanem csak következménye vagy változata volt az euklidészi állításnak.
Az V. század újplatonikus filozófusa, Proclos Diadochos magyarázatokat fűz Euklidész első könyvéhez, amelyekben kifejti, hogy „ezt a tételt teljesen ki kellene iktatni a posztulátumok közül, mert sok bonyodalmat tartalmazó állítás… Bizonyításához sok meghatározásra és más tételre lenne szükség”. A továbbiakban Proclos azt állítja, hogy a két szöget csökkentve az egyenesek egymáshoz való közeledése nyilvánvaló és szükséges, de hogy a meghosszabbításuk minden esetben találkozik, az egyáltalán nem biztos.
A párhuzamossági axiómák egyik egyszerűbb s mégis ugyanazt kifejező formája (ahogy az elemi oktatásban a könnyebb megértés céljából tanítják) az, hogy egy síkban egy egyeneshez egy rajta kívül fekvő ponton keresztül csak egy párhuzamos húzható.
A XVII. században a hagyományos mértan eme alapkijelentése kezd ismét központi témává válni. John Wallis 1663-ban, az oxfordi egyetemen nyilvános vita keretében igazolta, hogy: ha létezik két, nem egybevágó háromszög, melyek megfelelő szögei egyenlőek, akkor bebizonyítható, hogy egy egyeneshez valamely rajta kívül fekvő ponton keresztül csak egy párhuzamos húzható. Evvel Wallis csak azt igazolta, hogy az V. posztulátum helyettesíthető a háromszögek hasonlóságát kijelentő mondattal. Ezután sorra jelentek meg a párhuzamossági axiómával egyenértékű állítások. Az olasz Girolamo Saccheri minden vád alól fölmenti Euklidészt (Euclides ab omni naevo vindicatus!), kimutatva, hogy az állítás, miszerint minden háromszög szögeinek összege egyenlő két derékszöggel, egyenértékű az V. posztulátummal. Bizonyításként igazolja, hogy egy háromszög szögeinek összege nem lehet kisebb, sem nagyobb, tehát éppen egyenlő két derékszöggel.
Clavius, majd Bolyai Farkas is egyenértékű állításokkal gazdagítják a matematika tudományát. Előbbi kijelenti, hogy azon pontok mértani helye, amelyek egyenlő távolságra vannak egy egyenes minden pontjától: egy egyenes; Bolyai Farkas igazolja, hogy ha három, nem egy egyenesen elhelyezkedő ponton keresztül áthaladhat egy kör, akkor ebből következik Euklidész V. axiómája.
Természetesen sok lenne felsorolni minden mondatot, amely logikailag, közvetlenül vagy közvetve megegyezik a párhuzamossági axiómával; a szakirodalom 19 ilyen egyenértékű állítást tart nyilván.
A XIX. SZÁZAD
döntő jelentőségű felfedezésekhez vezet a matematika csaknem minden fejezetében.
Egy valamely adott egyenesen kívüli ponton (az általuk meghatározott síkban) legalább két egyenes halad keresztül úgy, hogy nincs közös pontjuk az adott egyenessel – jelenti ki csaknem egyidőben a világ két, egymástól távoli pontján Bolyai János és N. I. Lobacsevszkij. Ez nyilvánvalóan az V. posztulátumnak és következményeinek a tagadását jelentette. S egyben a nem euklideszi geometria megalapítását. A „matematikus király” K. F. Gauss levelezésében Bessel-nek egy „igazi” (valódi) mértanról ír, hangsúlyozva, hogy az euklidészi mértan csak a földi ábrákra vonatkozó gyakorlati tan. Schumancherhez írt levelében említi meg először, hogy a háromszög szögeinek a nagysága függ az oldalak hosszától, s ezért ebben az „új” geometriában nem beszélhetünk hasonló idomokról. Bolyai János „Észrevételek Lobatschewcky Miklós tanárnak az egyenközű egyenesek tárgyában tett Berlinben 1840-ben kijelölt űrtani vizsgálataira” című kéziratában kijelenti, hogy bár az Appendix célja megegyezik Lobacsevszkij munkájának céljával, a mód, ahogyan ketten megközelítik a nem euklidészi geometriát, teljesen eltérő.
A XIX. században még a matematikusok nagy része sem értette meg a Bolyai–Lobacsevszkij-féle mértant, ezért inkább az euklidészi geometria „elismerése” vagy „elvetése” képezte a vita tárgyát. A kanti filozófia hatására a legtöbb matematikus egyáltalán tudomást sem vett az új mértanról, míg végül B. Riemann elméletében nemcsak hogy elismeri az euklidészi geometria elvét, létezését, hanem más geometriák létezését is megengedi (pl. a Riemann-geometriáét). David Hilbert a Grundlagen der Geometrie-ben rendszerezi az axiómákról szóló tant, s a vitára is pontot tesz. A modern axiomatikus kutatások eredményeit nem helyezi az ógörög mértani axiómák helyébe, hanem csupán azok eredményeinek javításaként kezeli. A mértan alapjait képező 20 axiómát öt csoportra osztja (a IV. csoportba egyedül a párhuzamosságról szóló euklidészi axiómát sorolja), majd igazolja, hogy ez az axióma független a többitől, tehát nem azok következménye, azaz: nem tétel. A hagyományos mértan ellentmondásmentességét az aritmetika ellentmondásmentességére vezeti vissza, ez utóbbit a Peano olasz matematikus által bevezetett axiómákra építve.
Így a Bolyai–Lobacsevszkij-mértan ellentmondásmentessége is igazolható: éppen az euklidészi segítségével! A két mértan között egyébként sok a hasonlóság; mindkettőben a derékszög a szögek mérésének „egysége”, a szakaszok mérésére pedig egy tetszőleges egységet használnak. Ha ez az egység egyre nagyobbnak választódik (tart a végtelenhez) a Bolyai–Lobacsevszkij-féle geometria egyre inkább közeledik (elér) az euklidészi mértanhoz. Tehát az euklidészi mértan sajátos (határ-) esete a Bolyai–Lobacsevszkij-mértannak, a két mértan pedig sem önmagában, sem egymáshoz viszonyítva nem ellentmondásos, máskülönben a nemeuklidészi mértan ellentmondásosságából az euklidészi mértan és ebből az aritmetika ellentmondásossága következne.
H. Poincaré a mértani axiómákat egy tan felépítésének kényelmes egyezményeként tekinti, anélkül, hogy az illető tan gyakorlati oldalát – vagyis azt, hogy egy tetszőleges axiómarendszerből következő tanra szükség van-e egyáltalán, vagy sem – megvizsgálná. H. Dingler, a technikai, gyakorlati mértan úttörője 1952-ben leszögezi, hogy a technikai mértan alapja az euklidészi geometria, ezt a valóság mértanának nevezi, amit gyárakban, a finommechanikai berendezések mindegyikénél alkalmaznak. Ugyanakkor viszont a Bolyai–Lobacsevszkij-mértan nélkül elképzelhetetlen az űrkutatás, a rakétatechnika fejlesztése. A végkövetkeztetés így szinte magától adódik: a maga (gyakorlati) területén mindkét (s minden) geometria elengedhetetlenül szükséges. Egyébként hangsúlyozni kell, hogy nem is két különböző mértanról van szó, hanem ugyanazon tudomány két kifejezéséről.
Felvetődik a kérdés, hogy szükség van-e modern korunkban, amikor egyes tudományok szuperkorszakukat élik, az euklidészi mértan tanítására az iskolában. A válasz: igen. Ugyanis e mértan ismerete nélkül nemcsak a mindennapos, gyakorlati problémákban nem boldogulunk, hanem tökéletes elsajátítása egyik alapvető feltétele a nemeuklidészi geometriák megismerésének és alkalmazásának. Harmóniája, szépsége révén pedig a tudományok megszerettetésének, a logikus gondolkodásmód, sőt a szépérzék kialakításának kiváló eszköze.
Megjelent A Hét III. évfolyama 14. számában, 1972. április 7-én.
