A Hét 1973. évi 46. számában Toró Tibornak érdekes cikke jelent meg a híres temesvári Bolyai-levél megírásának 150. évfordulója alkalmából. Ennek a cikknek egy megállapításához szeretnék egy-két megjegyzést fűzni. Idézek: „Ezt a felfedezést, miszerint az euklideszi geometriában a kör quadratúrája megoldhatatlan, a matematikatörténetben igazságtalanul Lindemann német matematikusnak tulajdonítják, aki eredményét 1882-ben, tehát az Appendix megjelenése után ötven évvel későbben közölte, és valójában bizonyításában Bolyainál geometriai szempontból sokkal kevesebbet mond”.
Hogy megértsük ezzel kapcsolatban a való helyzetet, kissé messzebbről kell indulnunk. Kezdjük talán a körnégyszögesítés (kvadratúra; így, nem pedig quadrature, mint az idézett cikkben) problémájának pontos megfogalmazásával: körzővel és egyenes vonalzóval adott körrel egyenlő területű négyzet szerkesztendő. A feladat megoldásához elegendő a keresett négyzet oldalát megszerkeszteni. A XIX. század idevonatkozó kutatásai megmutatták, hogy egy szakasz körzővel és egyenes vonalzóval való szerkeszthetőségének szükséges feltétele az, hogy a szakasz hossza egy bizonyos fajta algebrai egyenletnek legyen a gyöke. (Hogy milyen fajtájú ez az egyenlet, az fejtegetéseink szempontjából nem lényeges). A kör négyszögesítése most már azon múlik, hogy a kör területének és kerületének kiszámításánál fontos szerepet játszó szám szerkeszthető-e az egységnyi szakaszból kiindulva az említett szerkesztést eszközökkel. Ha igen, akkor azt kell megmutatni, hogy a π eleget tesz ama bizonyosfajta algebrai egyenletnek. Lindemann 1882-ben – tudomásom szerint elsőnek – éppen azt bizonyította be, hogy a π semmilyen fajta algebrai egyenletnek nem lehet gyöke, és ezzel megoldotta az évezredes problémát: a kör négyszögesítése – abban a formában ahogyan fentebb megfogalmaztuk – kivihetetlen, így a megoldás dicsőségét Lindemanntól nem lehet elvitatni!
Bolyai Appendixében beszél ugyan a problémáról, amint azt az említett cikk is megjegyzi: „… vagy igaz Eukleidész XI axiómája, vagy pedig a kör mértani úton négyszögesíthető”, de bizonyítani csak az állítás második felét bizonyítja. Az állítás első része nem egyéb zseniális megsejtésnél, ami 1882-ben éppen Lindemann bizonyítása nyomán igazolódott. A kérdés megnyugtató eldöntése – amint az a fenti vázlatos gondolatmenetből kitűnik – nem is lehetséges a π szám természetének ismerete nélkül. Márpedig ezt a kérdést Lindemann előtt senki sem tisztázta véglegesen.
Érdekes megjegyezni a második rész bizonyításával kapcsolatban, hogy a nemeuklideszi (pontosabban a hiperbolikus) geometriában is csak bizonyos körök négyszögesíthetők és nem akármilyen kör. Itt tehát ugyanaz a helyzet, mint az euklideszi geometria szögharmadolási problémájával, amely bizonyos szögek (például a derékszög) esetében megoldható, általában azonban nem.
A teljesség kedvéért hadd említsük meg az ókor harmadik híressé vált problémáját, az úgynevezett déloszi (vagy kocka-kétszerezési) problémát: körzővel és egyenes vonalzóval olyan kocka éle szerkesztendő, amelynek köbtartalma egy adott kocka köbtartalmának kétszerese. Ez a feladat – éppen úgy, mint a kör négyszögesítése – nem oldható meg az euklidészi geometriában az említett eszközökkel. Mindhárom klasszikus szerkesztési feladat lényegéhez tartozik az a (görögök által támasztott) követelmény, hogy a szerkesztést körzővel és egyenes vonalzóval kell elvégezni. Arra már az ókorban rájöttek, hogy más szerkesztési eszközök használatával egyes szerkesztési feladatok, mint például a szögharmadolás vagy a kocka-kétszerezés elvégezhetők. Ugyanúgy, az évszázadok folyamán sok közelítő megoldás született az említett problémák megoldására az eredeti rajzeszközök megtartásával, amelyek a gyakorlat számára kielégítőek.
Az elmondottak alapján most már önként merül fel a kérdés: mi hát az oka annak, hogy a matematikusok olyan ádázul, fáradságot nem kímélve több évszázadon át ostromolták ezeket a problémákat? Ha már aránylag elég korán találtak a gyakorlat igényeit kielégítő megoldást, miért nem elégedtek meg ezzel, s miért nem fordították figyelmüket fontosabb problémák felé? Ha erre a kérdésre azt válaszoljuk, hogy azért, mert a körző és az egyenes vonalzó a legegyszerűbb szerkesztési eszköz, az igazságnak csak egy részére derítettünk fényt. A valódi okot az emberi szellem ama vonásában kell keresnünk, amely arra serkenti, hogy a felmerülő akadályok előtt ne hátráljon meg, hanem újabb és újabb rohamot indítson az ismeretlen felderítésére. Itt az embernek ugyanazzal a megismerési vágyával vagy ha úgy tetszik nehézséget kihívó ambíciójával találkozunk, amely a Himalája legmagasabb csúcsait, vagy az Észak- és Déli-pólust ostromló expedíciók hőseit fanatizálta. Az ehhez hasonló problémák megoldásának gyümölcsei sok esetben csak utólag érnek be.
Ez történt az említett három klasszikus szerkesztési feladattal is. A megoldásukra fordított energia századunkban kezd megtérülni, mivel ezek a pusztán elméleti indítékú kutatások nagyban hatottak többek között az algebrai egyenletek elméletére is, így végeredményben a modern algebra alapjainak lerakásához vezettek. A körzővel és egyenes vonalzóvalvaló szerkesztési feladatok didaktikai szempontból is hasznosak, mert egy-egy ilyen feladat megoldása megkívánja a tanulóktól, hogy egész geometriai tudásanyagukat latba vessék a cél elérése érdekében. Egy-egy ilyen feladat megoldása kapcsán a felhasznált ismeretek újszerűen kapcsolódnak egymáshoz, s ez elősegíti a jobb megértést, az alaposabb tudást. Hogy ez mennyire így van, az abból is látszik, hogy még a mostani tanterv is – amely pedig a modernebb fejezetek beiktatása miatt az elemi geometriai ismereteket kissé csökkentette – előírja ilyen feladattípusok tanítását.
Az elmondottakból világosan kitűnik, hogy a matematikában sem zárkózhatunk el az elméleti kérdések vizsgálata elől; ha valaki azt hiszi, hogy csakis azokkal a problémákkal érdemes foglalkozni, amelyeknek közvetlen gyakorlati hasznuk van, súlyosan téved, mert nem veszi észre, hogy elmélet és gyakorlat ugyanannak a kérdésnek összefüggő és egymást kiegészítő két oldala. Ha elzárkózunk a felmerült elméleti kérdések vizsgálata elől, éppen a gyakorlat felé vezető utat zárjuk el; s fordítva, ha a gyakorlatot hanyagoljuk el, egy olyan, az elmélet számára kiapadhatatlan forrásról mondunk le, amely nélkül nem tud huzamosabb ideig meglenni semmilyen, mégannyira tökéletesen megkonstruált elmélet sem.
Megjelent A Hét V. évfolyama 2. számában, 1974. január 11-én.