Ha Bolyai Farkas matematikai munkásságát akarnánk röviden jellemezni, azt mondhatnánk, hogy ez a tevékenység a párhuzamossági axióma jegyében zajlott le. A probléma iránt németországi tanulmányútja idején kezdett érdeklődni. Már Jénában, ahol ebben az időben Kästner, a kérdés alapos ismerője adta elő a matematikát, sokat hallhatott az euklidészi geometriának erről a szégyenfoltjáról, amely egész életében nyugtalanította.
Bolyai Farkas azok közé a matematikusok közé tartozott, akik nem arra törekszenek, hogy új eredményekkel gazdagítsák tudományukat, hanem inkább arra helyezik a súlyt, hogy a már meglevő eredményeket szilárdabb alapra állítsák. Egy ilyen beállítottságú matematikusnak abban az időben, amikor a párhuzamossági axióma problémájának több évszázados ostroma már-már végéhez közeledett, szükségképpen találkoznia kellett ezzel a nagy korkérdéssel. Nagy barátjával, Gauss-szal folytatott beszélgetései közül soknak ez volt a témája. A matematikusok fejedelme sokra értékelte a távoli ország szülöttének ilyen irányú gondolatait, amint az egy 1799-ben kelt leveléből kiderül: „Sajnálom, hogy egykori közellétünket nem használtam fel, hogy a geometria első alapjairól való munkálataidból többet tapasztaljak; bizonnyal sok haszontalan fáradságot megkíméltem volna.“ Sokat kísérletezett a párhuzamossági axióma bizonyításával, de mindannyiszor kudarcot vallott – ma már tudjuk, hogy miért –, ez el is kedvetlenítette őt egy időre a matematikától. Még fiát is féltőn óvja attól, hogy a paralellákkal „megmérgezze az egész életét“.
Bolyai Farkas – bár a párhuzamossági axióma bizonyíthatóságában sokáig bízott –, mégsem esett abba a hibába, amibe e probléma sok jeles kutatója; abba tudniillik, hogy hibás bizonyítást adott volna megoldásként.
Éles esze, matematikai felkészültsége minden bizonyítási kísérletében felfedezte azt a pontot, ahol a párhuzamossági axióma más alakban újra visszatér. Így jutott el több olyan állítás megfogalmazásához, amelyek egyenértékűek e sokat vitatott axiómával. Ezek közül egy az ő nevét viselve be került a kérdés szakirodaimába is; a „bármely háromszög köré kör írható“ tétel ugyanis a szakmunkákban úgy szerepel, mint Bolyai Farkas párhuzamossági axiómával egyenértékű állítása.
Főművében, a latin nyelven írt Tentamenben tudományos nézeteit fejti ki olyan alapossággal, amely miatt könyve nem lehetett igazi tankönyv, noha eredetileg annak íródott. Korát sok kérdésben megelőző gondolatai megfelelő, a diákoknál nagyobb képzettségű olvasót tételeztek fel. A geometria kifejtésénél például a mozgás fogalmára támaszkodik, aminek haszna később, a geometria csoportelméleti felfogásában mutatkozott meg. Az analízis területén a határérték és az integrál fogalmát tárgyalta korát megelőző alapossággal.
Nagy figyelmet szentelt művében a pozitív tagú sorok konvergenciakritériumainak is. Ellenpéldákon kimutatta egyes, az ő korában ismert konvergenciakritériumok hibás voltát.
Jóval Hankel előtt megfogalmazta a matematikában oly fontos szerepet játszó, Hankel nevét viselő permanencia-elvet, amely szerint a fogalmak, műveletek általánosítását úgy kell elvégezni, hogy ezek speciális esetekben tartalmazzák az eredetieket. Például a komplex számok szorzását úgy kell értelmezni, hogy ez az értelmezés abban az esetben, amikor a komplex számok speciálisan valósak lesznek, a valós számokra már definiált szorzást adjon.
A Tentamen két kötete az 1832–33-as években hagyta el a nyomdát, s mint ismeretes, e mű első kötetének függelékeként jelent meg fiának, Jánosnak Appendix című műve is (innen e munka kissé különös címe), amely kis terjedelme ellenére, ha későre is, meghozta szerzőjének az elismerést és a halhatatlanságot. Bolyai Farkasnak 1829-ben egy másik matematikai műve is megjelent, amelynek „Az aritmetika eleje“ címet adta. (A mű még a szerző életében új kiadást is megért.) Ez a munka is sok eredeti ötletet tartalmaz, de nehezen olvasható, minthogy Bolyai számos általa bevezetett és a szaknyelvben meg nem honosodott új szót használt.
Nevelési elvei közül nagyon sok ma is megállja helyét. Az elméleti tárgyak oktatásában nagy figyelmet szentelt a szemléltetésnek és a gyakorlati példáknak. A Tentamen ábrái is arról tanúskodnak, hogy ez a kérdés fő helyet foglalhatott el a tudós professzor elvei között. Az ábrák egy része a lap síkjából kihajtható részeket is tartalmaz olyanformán, mint napjainkban a gyermekek számára készült panorámikus képeskönyvek illusztrációi, így szándékozván érzékeltetni a harmadik dimenziót, amely a síkban rajzolásnál elvész.
Születésének 200. évfordulóján kegyelettel hajtjuk meg az elismerés zászlaját a vásárhelyi kollégium tudós professzorának emléke előtt, s kívánjuk, hogy minél több iskolánkban tanítsák a modern kor alapvető tudományát, a matematikát az ő ügybuzgalmával, szeretetével és hozzáértésével.
Megjelent A Hét VI. évfolyama 6. számában, 1975. február 7-én.